Примеры решения задач, курсовых и лабораторных по физике, математике, инженерной графике

Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Механические краны
Приступая к штриховке разрезов
Установочные винты
Техника вычерчивания и обводка
Основная надпись на конструкторских документах
Масштаб
Вспомогательная сетка
Размеры фасок
Построение лекальных кривых
Циклоида
Синусоида
Эвольвентой окружности
Спираль Архимеда
Уклон и конусность
Овал
Сопряжение
Шрифты чертежные
Геометрические построения
Уклон
Конусность
Метод проекций
Проецирующие плоскости
Метод секущих плоскостей
Методы преобразования проекций
Способ замены плоскостей проекции
Решение метрических задач
Математика задачи и примеры
Решить матричные уравнения
Векторы
Умножение матриц
Разложение матрицы
Найти матрицу
Предел функции
Односторонние пределы
Элементы теории множеств
Математическая логика
Производная и дифференциал
Неопределенный интеграл
Замена переменной; интегрирование по частям
Определенные интегралы
Функции нескольких переменных
ОДУ первого порядка
Уравнения в полных дифференциалах
Разложить в ряд Лорана
Двойной интеграл
Изменить порядок интегрирования в интеграле
Найти объем тела
Вычислить криволинейный интеграл
Вычислить массу дуги кривой
Вычислить работу силы
Вычислить расходимость (дивергенцию)
Исследовать поведение функции
Найти интеграл
Вычисление длины дуги кривой
Вычислить тройной интеграл
Применение тройных интегралов. Масса неоднородного тела
Цилиндрические координаты
Объём цилиндрического тела
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Двойной интеграл в полярных координатах
Тройной интеграл в цилиндрических координатах
Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
Криволинейный интеграл первого рода
Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода
Криволинейный интеграл второго рода
Криволинейный интеграл второго рода
Формула Грина
Поверхностный интеграл первого рода
Поверхностный интеграл второго рода
Скалярное поле
Экстремумы ФНП
Локальный экстремум ФНП
Векторное поле
Найти частные производные
Подвести под дифференциал
Метод замены переменной (интегрирование подстановкой)
Диффенцируемость ФНП
Правило Лопиталя
Электротехника
Последовательное соединение элементов
Расчет цепей синусоидального переменного тока
Сдвиг фазы между напряжением и током
Расчет цепей по комплексным значениям
Расчет цепей несинусоидапьного тока
Операторный метод
Лабораторная работа
Курсовой расчет
Атомная энергетика
Атомные станции
Предотвращение загрязнения окружающей среды выбросами АЭС
Атомная энергетика в странах мира
Атомные реакторы
Атомные станции теплоснабжения
Ядерные двигатели для транспорта
Ядерные двигатели для авиации.
Космические ядерные двигатели
Испытание материалов
Испытание на сжатие 
Расчет на прочность и жесткость
Задачи курса сопротивление материалов

 

Учебник физики

  • Векторы на плоскости Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало (наз. также точкой приложения вектора) и конец.
  • Курс лекций по физике
  • Сумма векторов Суммой  векторов  и  называют вектор , идущий из начала вектора  в конец вектора  при условии, что начало вектора  приложено к концу вектора . Происхождение этого правила связано с правилом параллелограмма сложения векторов, источником которого яв­ляется экспериментальный факт сложения сил (векторных величин) по этому правилу.
  • Изменение агрегатных состояний вещества
  • Поглощение энергии при испарении жидкости и выделение ее при конденсации пара
  • Двигатель внутреннего сгорания
  • Делимость электрического заряда. Электрон. Между двумя одинаковыми проводниками заряд делится поровну. Если проводники разные, то бóльшему проводнику «достанется» бóльший заряд.
  • Электрический ток в металлах
  • Электрическое сопротивление проводников
  • Параллельное соединение проводников. (Начала всех проводников соединены в одной точке, а концы - в другой)
  • Работа и мощность. Энергия. Механическая работа. Единицы измерения работы.
  • Равенство работ при использовании простых механизмов. Золотое правило механики.
  • Астрономия Небесная сфера - воображаемая сфера произвольного радиуса с центром в точке наблюдения, на поверхность которой проецируют видимые положения светил.
  • Плоскость орбиты Луны наклонена под углом 5°9’ к плоскости эклиптики.
  • Строение атмосферы Солнца. Фотосфера - нижний слой солнечной атмосферы толщиной 300 - 400 км, который излучает практически всю приходящую к нам солнечную энергию. Состоит, в основном, из водорода, плотность 10-4 кг/ м3, температура 6000 К.
  • Многоэлектронный атом. Правила распределения электронов по орбиталям. В многоэлектронных атомах вокруг положительно заряженного ядра двигается несколько электронов, их число равно порядковому номеру атома в таблице Менделеева. У многоэлектронных атомов система энергетических уровней усложняется. Это связано с тем, что каждый электрон в данном случае не только притягивается ядром, но и отталкивается другими электронами.
  • Пространственная скорость звезды - скорость, с которой звезда движется относительно Солнца.
  • Физически переменные, новые и сверхновые звезды. Переменные звезды - звезды, блеск которых периодически или беспорядочно изменяется (например, затменно двойные).
  • Другие галактики. Некоторые туманные пятна в разных участках неба - другие галактики.
  • Экспериментальные данные о спектрах излучения Эксперименты показывают, что при нагревании различных чистых веществ (см. таблицу Менделеева), вещества испускают электромагнитное излучение различных частот или длин волн.
  • Строение атомов и теория излучения согласно квантовой механики Основные положения квантовой механики Квантовая механика базируется, как и любая другая физическая теория, на ряде постулатов. Основные постулаты можно представить упрощенно в следующем виде.
  • Графически вероятность нахождения электрона можно изобразить в виде облака, где более темные области соответствуют большей вероятности нахождения.
  • Исследование спектра неона с помощью стилоскопа СЛП-1 Качественное исследование видимой части спектра производится спектроскопами различного типа.
  • Исследование спектра атомов ртути с помощью стилометра СТ-7 Стилометр представляет собой спектроскоп особой конструкции и предназначен для экспрессного качественного и количественного анализа состава сплавов металлов методом спектрального анализа
  • Изучение космического излучения у поверхности Земли Цель работы: изучить космическое излучение, его происхождение, состав и свойства; методы регистрации космических лучей; измерить интенсивность космического излучения у поверхности Земли.
  • Пузырьковая камера в отличие от камеры Вильсона заполнена перегретой жидкостью. При попадании заряженной час­тицы в камеру, вдоль ее траектории образуются ионы, которые стано­вятся центрами парообразования. Из-за высокой плотности жидкости, частицы тормозятся на отрезках в тысячу раз меньших, чем в камере Вильсона, что позволяет регистрировать частицы высоких энергий.
  • Основные положения квантовой механики. Противоречия классической физики: особенности строения атома, линейчатые спектры атомов, дифракция электронов, дифракция нейтронов.
  • Гипотеза Луи-де-Бройля о корпускулярно-волновом дуализме свойств микрочастиц. Как известно, эксперименты с электромагнитными волнами показали, что в некоторых явлениях они проявляют свойства частиц (фотоэффект, эффект Комптона, тепловое излучение и др).
  • Физические основы механики
  • Уравнение Шредингера. Физические ограничения на вид волновой функции. Стационарное уравнение Шредингера, стационарные состояния.
  • Физика атома. Электрон в атоме водорода. Энергетические уровни. Квантовые числа и их физический смысл. Лабораторные диссольверы от производителя лучшего качества по доступной цене!
  • Пространственное распределение электрона в атоме водорода
  • Особенности структуры электронных уровней в сложных атомах. Связь распределения электронов по орбиталям с периодической таблицей Менделеева.
  • Элементарная квантовая теория испускания атомами электромагнитного излучения.
  • Атомное ядро. Состав ядра. Характеристики ядра. Как было показано ранее, любой атом состоит из ядра и двигающихся вокруг него электронов. Атомное ядро состоит из протонов и нейтронов, обозначаемых символами p и n. Протон имеет массу в 1836 раз большую массы электрона и положительный заряд, равный заряду электрона. Нейтрон имеет массу близкую к массе протона, заряда у него нет. Обе эти частицы имеют одинаковый спин. Эти частицы часто называют нуклонами (т.е. ядерные частицы).
  • Два типа ядерной реакции. Энергия ядерной реакции. Процессы деления тяжелых ядер на более легкие и слияния легких ядер в более тяжелые называют ядерными реакциям (ядерная реакция деления и реакция синтеза ядер). В этих реакциях выделяется большое количество энергии, в настоящее время они осуществлены  на практике и используются как в мирных, так и в военных целях.
  • Цепная ядерная реакция деления. Ядра обычно находятся в состоянии с наименьшей энергией, это состояние называется основным. При попадании частиц с большой кинетической энергией в ядро, оно переходит в возбужденное неустойчивое состояние и через некоторое время делится на два более устойчивых ядра.
  • Проблемы развития атомной энергетики. При использовании энергии ядер в мирных целях возникают определенные проблемы. Первая заключается в необходимости защиты людей, обслуживающих ядерные энергетические установки, от вредного действия гамма – излучения и потоков нейтронов, возникающих при осуществлении ядерной реакции в активной зоне реактора.
  • Свойства и характеристики радиоактивных излучений. Частицы, возникающие при радиоактивном распаде, попадая в вещество, сталкиваются с электронами атомов.
  • Свойства элементарных частиц. Гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия.
  • Гипотеза Великого объединения всех видов взаимодействия. В 70-е ХХ века в естествознании было установлено, что электромагнитное и слабое взаимодействия, казалось бы весьма разные по своей природе, в действительности являются двумя разновидностями единого так называемого электрослабого взаимодействия. Теория электрослабого взаимодействия решающим образом повлияла на дальнейшее развитие физики элементарных частиц.
  • Закон Ампера.  Характеристика магнитного поля, единицы их измерения. Движущиеся заряды /токи/ изменяют свойства окружающего их пространства - создают  в них магнитное поле
  • При накаливании металла, находящегося в слабом, электрическом поле, можно наблюдать  поток отрицательного электричества, источником которого является поверхность металла.
  • Явление электромагнитной индукции. При движении проводника в магнитном поле в нем возникает электродвижущая сила индукции, а если при этом проводник замкнут, то в нем появляется электрический ток индукции.
  • Изучение свойств ферромагнетиков Всякое тело является МАГНЕТИКОМ, т.е. под действием магнитного поля оно приобретает магнитный момент (намагничивается). Магнитные свойства тел обусловлены магнитными свойствами элементарных частиц, входящих в состав атомов и молекул.
  • Ферромагнитные тела образуют третий, особый класс магнетиков. Свое название они получили от наименования основного представителя этого класса веществ - железа. К ферромагнетикам относятся кобальт, никель, гадолиний, тербий, диспрозий, эрбий, ряд сплавов и химических соединений.
  • Установка для определения точки Кюри ферромагнетика состоит из двух одинаковых катушек, каждая из которых имеет по две обмотки: первичную и вторичную. Первичные обмотки катушек (1-1) соединены последовательно и включаются через трансформатор
  • Элементы земного магнетизма. Земля представляет собой огромный шаровой магнит. В любой точке пространства, окружающего Землю, и на ее поверхности обнаруживается действие магнитных сил, т.е. создается магнитное поле, которое подобно полю магнитного диполя “ав” помещенного в центре Земли
  • Ознакомиться с основами теории Максвелла, свойствами электромагнитных волн и механизмом распространения электромагнитных волн в двухпроводной линии
  • Магнетизм - раздел физики, изучающий взаимодействие между электрическими токами, между токами и магнитами (телами с магнитным моментом) и между магнитами.
  • Взаимодействие двух параллельных проводников с током. Законы Био – Савара – Лапласа и Ампера применяются для определения силы взаимодействия двух параллельных проводников с током.
  • Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля.
  • Магнитные моменты атомов. Для полного описания атома необходимы знания квантовой механики, которую мы будем изучать позднее. Однако магнитные свойства вещества хорошо объясняются с помощью простой и наглядной планетарной модели атома, предложенной Э.Резерфордом.
  • Намагниченность вещества. Ранее мы предполагали, что провода, несущие ток и создающие магнитное поле, находятся в вакууме. Если же провода находятся в какой-либо среде, то величина создаваемого ими магнитного поля изменится.
  • Виды магнетиков. Проведем опыт с сильным магнитным полем, создаваемым, например, соленоидом. Соленоид (цилиндр с намотанным на него проводом, по которой течет ток) может создать внутри себя магнитное поле в 100000 раз больше магнитного поля Земли. Будем помещать в такое магнитное поле различные вещества и наблюдать, как действует на них сила магнитного поля. Качественные результаты подобных опытов получаются довольно разнообразными.
  • Доменная структура ферромагнетиков. Классическая теория ферромагнетизма была развита французским физиком П.Вейсом (1907 г.). Согласно этой теории, весь объем ферромагнитного образца, находящегося при температуре ниже точки Кюри, разбит на небольшие области – домены,– которые самопроизвольно намагничены до насыщения.
  • Основной закон электромагнитной индукции. Величайший физик XIX века Майкл Фарадей считал, что между электрическими и магнитными явлениями существует тесная взаимосвязь. Ампер, Био и другие ученые выяснили одну сторону этой взаимосвязи, с которой мы уже знакомы, а именно – магнитное действие тока.
  • Явление взаимной индукции
  • Теория Максвелла для электромагнитного поля. В 60-х годах XIX столетия Д.К. Максвелл, ознакомившись с работами Фарадея, решил придать теории электричества и магнетизма математическую форму. Обобщив законы, установленные экспериментальным путем – закон полного тока, закон электромагнитной индукции и теорему Остроградского-Гаусса, - Максвелл дал полную картину электромагнитного поля
  • Второе уравнение Максвелла. Максвелл ввел понятие полного тока. Плотность полного тока
  • Фотоядерные реакции
  • Закон сохранения энергии — результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М. В. Ломоносову (1711—1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером (1814—1878) и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821—1894).
  • Механика твердого тела Момент инерции При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс л материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси
  • Движение тел в жидкостях и газах Одной из важнейших задач аэро- и гидродинамики является исследование движения твердых тел в газе и жидкости, в частности изучение тех сил, с которыми среда действует на движущееся тело. Эта проблема приобрела особенно большое значение в связи с бурным развитием авиации и увеличением скорости движения морских судов.
  • Второе начало термодинамики Первое начало термодинамики, выражая закон сохранения и превращения энергии, не позволяет установить направление протекания термодинамических процессов. Кроме того, можно представить множество процессов, не противоречащих первому началу, в которых энергия сохраняется, а в природе они не осуществляются. Появление второго начала термодинамики связано с необходимостью дать ответ на вопрос, какие процессы в природе возможны, а какие нет. Второе начало термодинамики определяет направление протекания термодинамических процессов.
  • Твердые тела. Моно- и поликристаллы Твердые тела (кристаллы) характеризуются наличием значительных сил межмолекулярного взаимодействия и сохраняют постоянными не только свой объем, но и форму. Кристаллы имеют правильную геометрическую форму, которая, как показали рентгенографические исследования немецкого физика-теоретика М. Лауэ (1879—1960), является результатом упорядоченного расположения частиц (атомов, молекул, ионов), составляющих кристалл. Структура, для которой характерно регулярное расположение частиц с периодической повторяемостью в трех измерениях, называется кристаллической решеткой. Точки, в которых расположены частицы, а точнее — средние равновесные положения, около которых частицы совершают колебания, называются узлами кристаллической решетки.
  • Постоянный электрический ток В электродинамике — разделе учения об электричестве, в котором рассматриваются явления и процессы, обусловленные движением электрических зарядов или макроскопических заряженных тел, — важнейшим понятием является понятие электрического тока. Электрическим током называется любое упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов. В проводнике под действием приложенного электрического поля Е свободные электрические заряды перемещаются: положительные — по полю, отрицательные — против поля, т. е. в проводнике возникает электрический ток, называемый током проводимости. Если же упорядоченное движение электрических зарядов осуществляется перемещением в пространстве заряженного макроскопического тела (рис. 146, б), то возникает так называемый конвекционный ток.
  • Трансформаторы Принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении взаимной индукции. Впервые трансформаторы были сконструированы и введены в практику русским электротехником П.Н. Яблочковым (1847—1894) и русским физиком И.Ф. Усагиным (1855—1919). Принципиальная схема трансформатора показана на рис. 186. Первичная и вторичная катушки (обмотки), имеющие соответственно N1 и N2 витков, укреплены на замкнутом железном сердечнике. Так как концы первичной обмотки присоединены к источнику переменного напряжения с э.д.с. , то в ней возникает переменный ток I1, создающий в сердечнике трансформатора переменный магнитный поток Ф, который практически полностью локализован в железном сердечнике и, следовательно, почти целиком пронизывает витки вторичной обмотки. Изменение этого потока вызывает во вторичной обмотке появление э.д.с. взаимной индукции, а в первичной — э.д.с. самоиндукции.
  • Переменный ток Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, переменного тока. Переменный ток можно считать квазистационарным, т. е. для него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распространяются по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к переменным токам (эти законы уже использовались при рассмотрении электромагнитных колебаний).
  • Волновые процессы. Продольные и поперечные волны Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Иначе говоря, фазы колебаний частиц среды и источника тем больше отличаются друг от друга, чем больше это расстояние. При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды и среда рассматривается как сплошная, т. е. непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.
  • Электронная оптика Область физики и техники, в которой изучаются вопросы формирования, фокусировки и отклонения пучков заряженных частиц и получения с их помощью изображений под действием электрических и магнитных полей в вакууме, называется электронной оптикой. Комбинируя различные электронно-оптические элементы — электронные линзы, зеркала, призмы, — создают электронно-оптические приборы, например электронно-лучевую трубку, электронный микроскоп, электронно-оптический преобразователь.
  • Голография (от греч. «полная запись») — особый способ записи и последующего восстановления волнового поля, основанный на регистрации интерференционной картины. Она обязана своим возникновением законам волновой оптики — законам интерференции и дифракции.
  • Квантовая механики Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества Французский ученый Луи де Бройль (1892—1987), осознавая существующую в природе симметрию и развивая представления о двойственной корпускулярно-волновой природе света, выдвинул в 1923 г. гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами.
  • Периодическая система элементов Менделеева Принцип Паули, лежащий в основе систематики заполнения электронных состояний в атомах, позволяет объяснить Периодическую систему элементов Д. И. Менделеева (1869) — фундаментального закона природы, являющегося основой современной химии, атомной и ядерной физики.
  • Физика твердого тела Понятие о зонной теории твердых тел Используя уравнение Шредингера — основное уравнение динамики в нерелятивистской квантовой механике, — в принципе можно рассмотреть задачу о кристалле, например найти возможные значения его энергии, а также соответствующие энергетические состояния. Однако как в классической, так и в квантовой механике отсутствуют методы точного решения динамической задачи для системы многих частиц. Поэтому эта задача решается приближенно сведением задачи многих частиц к одноэлектронной задаче об одном электроне, движущемся в заданном внешнем поле. Подобный путь приводит к зонной теории твердого тела.
  • Физика атомного ядра Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое числа
  • Цепная реакция деления Испускаемые при делении ядер вторичные нейтроны могут вызвать новые акты деления, что делает возможным осуществление цепной реакции деления — ядерной реакции, в которой частицы, вызывающие реакцию, образуются как продукты этой реакции. Цепная реакция деления характеризуется коэффициентом размножения k нейтронов, который равен отношению числа нейтронов в данном поколении к их числу в предыдущем поколении.

Примеры решения задач на дифференцирование и интегральное исчисление

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производная функции, ее геометрический и физический смысл Производной функции f(x)в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Односторонние производные функции в точке

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции

Логарифмическое дифференцирование  Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Решение интегралов http://avantagehall.ru/ Выполнение контрольного, курсового, типового расчета

Производная показательно - степенной функции

Производная обратных функций

Дифференциал функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал сложной функции

Поверхностный интеграл второго рода К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность S. При этом, в каждой точке поверхности S задаётся векторная функция (x,y,z) скорости жидкости.

Формула Тейлора

Формула Маклорена

Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора

Функция f(x) = sinx.Функция f(x) = cosx.

Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.

Пример: Вычислить .Функция f(x) = ln(1 + x).

Теоремы о среднем

Теорема Ролля

Теорема Лагранжа

Теорема Коши

Раскрытие неопределенностей

Правило Лопиталя

Пример: Найти предел . Производные и дифференциалы высших порядков

Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функций

Точки экстремума

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Асимптоты Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Пример
Схема исследования функций

Векторная функция скалярного аргумента

Свойства производной векторной функции скалярного аргумента

Параметрическое задание функции

Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме

Производная функции, заданной параметрически

Кривизна плоской кривой

Свойства эволюты

Кривизна пространственной кривой

О формулах Френе

  • Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию  и построить ее
  • Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.график.
  • Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

Интегральное исчисление

Первообразная функция
Функция > F ( x ) называется первообразной функцией  функции >f (>x ) на отрезке [>a , >b ], если в любой точке этого отрезка верно равенство:>F¢ (>x ) = >f ( x ).

Пример

Методы интегрирования Рассмотрим три основных метода интегрирования. Интегрирование элементарных дробей

Примеры

Интегрирование рациональных функций 

Пример.    

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида  Здесь >R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных >sin>cosx

Интеграл произведения синусов и косинусов

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегрирование биноминальных дифференциалов

Биноминальным дифференциалом называется выражение xm(a + bxn)pdx где m , n , и p – рациональные числа.

Определенный интеграл
Свойства
Вычисление определенного интеграла
Замена переменных
Интегрирование по частям Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление объемов тел.

Функции нескольких переменных

Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Пример . Найти полный дифференциал функции .
Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала

Частные производные высших порядков

Экстремум функции нескольких переменных

Условный экстремум
Производная по направлению
 Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2>в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

Градиент

Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

Условия существования двойного интеграла

Школьный курс математики Найти частные производные Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы

Вычисление двойного интеграла Пример. Вычислить интеграл , если область интегрирования >D ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2.

Тройной интеграл 

Цилиндрическая система координат

Геометрические и физические приложения кратных интегралов

Вычисление площади кривой поверхности

Вычисление площадей в полярных координатах

Задачи начертательной геометрии

  • Ортогональное  (прямоугольное) проецирование и его свойства Для обозначения точек будем использовать прописные буквы латинского алфавита или арабские цифры, для обозначения линий  - строчные буквы латинского алфавита, для обозначения поверхностей (плоскостей) - прописные буквы греческого алфавита. Возможны и другие обозначения, которые будут введены в дальнейшем.
  • Комплексный чертеж Изображение фигуры, полученное при проецировании фигуры на плоскость, дает информацию о фигуре. Однако, эта информация является неполной. По изображению на плоскости нельзя восстановить фигуру и ее положение в пространстве, т.е. чертеж, содержащий одну проекцию фигуры необратим.
  • Комплексный чертеж прямой Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения. Прямая, параллельная хотя бы одной из плоскостей проекций, называется прямой частного положения.
  • Комплексный чертеж плоскости Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения. Плоскость, перпендикулярная хотя бы одной из плоскостей проекций называется плоскостью частного положения.
  • Взаимное положение точек и прямых, их принадлежность плоскости Взаимное положение точки и прямой. Деление отрезка прямой в данном отношении
  • Преобразование комплексного чертежа. В курсе начертательной геометрии под преобразованием комплексного чертежа фигуры обычно понимается его изменение, вызванное перемещением фигуры в пространстве, или введением новых плоскостей проекций, или использованием других видов проецирования. Применение различных методов (способов) преобразования комплексного чертежа упрощает решение многих задач.
  • Проецирование прямой общего положения в точку на новую плоскость проекций Придание фигурам частного положения относительно плоскостей проекций значительно облегчает решение многих задач. Для того, чтобы прямая общего положения в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей прямой, необходимо, чтобы новая плоскость проекций была перпендикулярна прямой. Прямая на эту плоскость спроецируется в точку.
  • Первая и вторая позиционные задачи Позиционные задачи – это задачи, в которых требуется определить положение фигуры относительно плоскостей проекций или взаимное положение фигур – их принадлежность, параллельность и пересечение.
  • Прямая и плоскость занимают общее положение
  • Взаимное положение плоскостей Общим случаем взаимного положения двух плоскостей является их пересечение. В частном случае, когда линия пересечения удалена в бесконечность, плоскости становятся параллельными. Параллельные плоскости совпадают при сокращении расстояния между ними до нуля.
  • Построение взаимно перпендикулярных фигур В качестве взаимно перпендикулярных будем рассматривать пары фигур: две прямые, прямая и плоскость, две плоскости, прямая и поверхность.
  • Перпендикулярность двух плоскостей Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Приведем без доказательства теоремы стереометрии, полезные для решения последующих метрических задач.
  • Расстояние от точки до фигуры (точки, прямой, плоскости) Приведем сведения из планиметрии, необходимые для решения обозначенных задач.
  • Определение расстояния между скрещивающимися прямыми
  • Задача. Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD. Определить  расстояние между ними.
  • Угол между прямой и плоскостью Определение. Углом между наклонной прямой и плоскостью называется угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, то угол между прямой и плоскостью принимается равным нулю. В случае перпендикулярности прямой и плоскости угол между ними по определению равен 90°.
  • Кривая линия – это множество последовательных положений точки, перемещающейся в пространстве. Такое определение дает наглядное представление о кривой линии как о траектории точки.
  • Понятие поверхности. В начертательной геометрии поверхности рассматриваются как множество последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Такой способ образования поверхности называется кинематическим.
  • Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется тремя направляющими линиями. Тогда определитель такой поверхности имеет вид: Ф(t; k, l, m), где t – прямолинейная образующая; k, l, m – в общем случае криволинейные направляющие. Алгоритмическую часть определителя можно записать так: прямолинейная образующая в своем движении пересекает все три направляющие.
  • Поверхности вращения. Поверхностью вращения называется поверхность, полученная при вращательном движении образующей (прямой или кривой) вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения (рис. 11.8). Геометрической частью определителя поверхности вращения является образующая и ось вращения.
  • Принадлежность точки и линии поверхности вращения При решении задач на принадлежность точки поверхности вращения в качестве графически простых линий наиболее часто используются окружности.
  • Циклическая поверхность – это множество последовательных положений окружности постоянного или переменного радиуса, перемещающейся в пространстве. Циклическая поверхность общего вида задается тремя направляющими m, n и k. Одна из них (n) задает положение центров окружностей, другая (m) – положение плоскостей окружностей, а третья (k) – радиусы окружностей
  • Пересечение поверхности и плоскости Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой плоскую кривую, называемую сечением. Точки этой кривой можно рассматривать как точки пересечения линий поверхности с плоскостью или прямых плоскости с поверхностью.
  • Пересечение поверхностей Линия пересечения двух поверхностей представляет собой в общем случае пространственную кривую. Любая точка этой линии принадлежит как первой, так и второй поверхностям и может быть определена в пересечении линий, проведенных на этих поверхностях.
  • Способ эксцентрических сфер
  • Пересечение поверхностей второго порядка В общем случае две поверхности второго порядка пересекаются по пространственной кривой четвертого порядка. Следует отметить, что при некоторых особых положениях относительно друг друга поверхности второго порядка могут пересекаться по плоским кривым второго порядка, то есть пространственная кривая пересечения распадается на две плоские кривые
  • Развертки поверхностей Если поверхность, представляемую в виде тонкой, гибкой и нерастяжимой пленки, можно путем изгибания совместить с плоскостью без разрывов и складок, то поверхность, обладающая этим свойством, называется развертывающейся, а фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью, называется разверткой.
  • Приближенные развертки развертывающихся поверхностей
  • Условные развертки неразвертывающихся поверхностей Рассмотрим несколько примеров, следуя указанной ранее схеме построения условной развертки поверхности.
  • Аксонометрические проекции В переводе с греческого языка слово "аксонометрия" означает измерение по осям. Особенностью аксонометрического проецирования является то, что вместе с фигурой на плоскость проецируется и пространственная система координат, связанная с этой фигурой. При этом ни одна из осей системы координат не проецируется в точку. Использование аксонометрического проецирования позволяет повысить наглядность изображения фигуры.
  • Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция Ортогональная изометрическая проекция (изометрия) является ортогональной аксонометрической проекцией при u = v = w. По формуле (14.1) получим u = v = w = 0,82. По формуле (14.2) определим, что угол между любыми осями 120 градусов.