Примеры решения задач на дифференцирование и интегральное исчисление

Задачи начертательной геометрии Приступая к штриховке разрезов Установочные винты Техника вычерчивания и обводка Основная надпись на конструкторских документах Математика задачи и примеры Интегральное исчисление

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производная функции, ее геометрический и физический смысл Производной функции f(x)в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Односторонние производные функции в точке

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции

Логарифмическое дифференцирование  Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Производная показательно - степенной функции

Производная обратных функций

Дифференциал функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал сложной функции

Формула Тейлора

Формула Маклорена

Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора

Функция f(x) = sinx.Функция f(x) = cosx.

Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.

Пример: Вычислить .Функция f(x) = ln(1 + x).

Теоремы о среднем

Теорема Ролля

Теорема Лагранжа

Теорема Коши

Раскрытие неопределенностей

Правило Лопиталя

Пример: Найти предел .
Производные и дифференциалы высших порядков

Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функций

Точки экстремума

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Асимптоты Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Пример
Схема исследования функций

Векторная функция скалярного аргумента

Свойства производной векторной функции скалярного аргумента

Параметрическое задание функции

Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме

Производная функции, заданной параметрически

Кривизна плоской кривой

Свойства эволюты

Кривизна пространственной кривой

О формулах Френе

  • Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию  и построить ее
  • Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.график.
  • Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

Интегральное исчисление

Первообразная функция
Функция > F ( x ) называется первообразной функцией  функции >f (>x ) на отрезке [>a , >b ], если в любой точке этого отрезка верно равенство:>F¢ (>x ) = >f ( x ).

Пример

Методы интегрирования Рассмотрим три основных метода интегрирования.Интегрирование элементарных дробей

Примеры

Интегрирование рациональных функций 

Пример.    

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида  Здесь >R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных >sin>cosx

Интеграл произведения синусов и косинусов

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегрирование биноминальных дифференциалов

Биноминальным дифференциалом называется выражение xm(a + bxn)pdx где m , n , и p – рациональные числа.
Определенный интеграл
Свойства
Вычисление определенного интеграла Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.
Замена переменных
Интегрирование по частямГеометрические приложения определенного интегралаВычисление объемов тел.

Функции нескольких переменных

Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Пример . Найти полный дифференциал функции .
Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала

Частные производные высших порядков

Экстремум функции нескольких переменных

Условный экстремум
Производная по направлению
 Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2>в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

Градиент

Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

Условия существования двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла Пример. Вычислить интеграл , если область интегрирования >D ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2.

Тройной интеграл При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет. Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.

Цилиндрическая система координат

Геометрические и физические приложения кратных интегралов

Вычисление площади кривой поверхности

Вычисление площадей в полярных координатах

Физика, начертательная геометрия - лекции и примеры решения задач