Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Дифференциальное исчисление

  Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

 

 

 у

  f(x)

 

 

  f(x0 +DxP

  Df

  f(x0M

 

  Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда  тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

 

,

 

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

 

  Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

 

  Уравнение касательной к кривой:  

 

  Уравнение нормали к кривой: .

 Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

  Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

  Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба значения достигаются на концах отрезка, то они равны по условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на [a,b]. Тогда производная такой функции равна нулю. Если же хотя бы одно из значений - максимальное или минимальное - достигается внутри отрезка, то производная равна нулю в силу теоремы Ферма.
На главную