Возрастание и убывание функций. Теорема

 Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

  2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

 Доказательство.

1)      Если функция f(x) возрастает, то f(x + Dx) > f(x) при Dx>0 и f(x + Dx) < f(x) при Dх<0,

тогда:

 

2) Пусть f¢(x)>0 для любых точек х1 и х2, принадлежащих отрезку [a, b], причем x1<x2.

 

  Тогда по теореме Лагранжа: f(x2) – f(x1) = f¢(e)(x2x1), x1 < e < x2

По условию f¢(e)>0, следовательно, f(x2) – f(x1) >0, т.е. функция f(x) возрастает.

[an error occurred while processing this directive]

 Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f¢(x)£0 на этом отрезке. Если f¢(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

  Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

 

 Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:

 

 y  y

Множество точек на плоскости называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве. Примерами выпуклых множеств являются : треугольник, отрезок, полуплоскость, вся плоскость.
На главную