Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.
у
На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.
Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).
Доказательство. Пусть х0 Î (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.
Уравнение кривой: y = f(x);
Уравнение
касательной: 
Следует
доказать, что 
.
По
теореме Лагранжа для f(x) – f(x0):
, x0 <
c < x.
[an error occurred while processing this directive]
По
теореме Лагранжа для 
Пусть х > x0 тогда x0 < c1 < c < x. Т.к. x – x0 > 0 и c – x0 > 0, и кроме того по условию
, следовательно, 
.
Пусть
x < x0 тогда x
< c < c1 < x0 и x – x0 < 0, c – x0 < 0, т.к. по условию
то
.
Аналогично доказывается, что если f¢¢(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).
Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.
Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.
Доказательство. 1) Пусть f¢¢(x) < 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 при x > a. Тогда при
x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.
2) Пусть f¢¢(x) > 0 при x < b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.
Множество точек на плоскости называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве. Примерами выпуклых множеств являются : треугольник, отрезок, полуплоскость, вся плоскость.| На главную |