Асимптоты. Определение

 

 При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

 Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

 Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка

 Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

 

 

 Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

 

Вертикальные асимптоты.

[an error occurred while processing this directive]

 Из определения асимптоты следует, что если или  или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

 

 Например, для функции  прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

 

Наклонные асимптоты.

 

 Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

 

 

 Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.

 Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ =   - ордината точки N на асимптоте.

 По условию: ÐNMP = j.

Угол j - постоянный и не равный 900, тогда

 

 

Тогда .

 

Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

 

 В полученном выражении выносим за скобки х:

 

Т.к. х®¥, то , т.к. b = const, то .

 

Тогда , следовательно, 

 

.

 

Т.к. , то , следовательно,

 

 

 Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Множество точек на плоскости называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве. Примерами выпуклых множеств являются : треугольник, отрезок, полуплоскость, вся плоскость.
На главную