Схема исследования функций Определение

  Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1)      Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2)      Точки разрыва. (Если они имеются).

3)      Интервалы возрастания и убывания.

4)      Точки максимума и минимума.

5)      Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6)      Области выпуклости и вогнутости.

7)      Точки перегиба.(Если они имеются).

8)      Асимптоты.(Если они имеются).

9)      Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

  [an error occurred while processing this directive]

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

 

Критические точки: x = 0; x = -; x = x = -1; x = 1.

 

Найдем вторую производную функции

.

[an error occurred while processing this directive]  

  Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

 

-¥ < x < -y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

  0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

  1 < x < y¢¢ > 0, кривая вогнутая

   < x < ¥y¢¢ > 0, кривая вогнутая

 

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

 

-¥ < x < -y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

  0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

  1 < x < y¢ < 0, функция убывает

   < x < ¥y¢¢ > 0, функция возрастает

  Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х =  является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.

  Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

  Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции:

 

Функция выпукла вниз (вверх) на множестве X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).
На главную