Кривизна плоской кривой

 


 

  Определение: Угол a поворота касательной к кривой при переходе от точки А к точке В называется углом смежности.

  Соответственно, более изогнута та кривая, у которой при одинаковой длине больше угол смежности.

  Определение: Средней кривизной Кср дуги  называется отношение соответствующего угла смежности a к длине дуги .

  Отметим, что для одной кривой средняя кривизна ее различных частей может быть различной, т.е. данная величина характеризует не кривую целиком, а некоторый ее участок.

[an error occurred while processing this directive]

Определение: Кривизной дуги в точке КА называется предел средней кривизны при стремлении длины дуги   ® 0.

 

  Легко видеть, что если обозначить  = S, то при условии, что угол a - функция, которая зависит от S и дифференцируема, то

 

  Определение: Радиусом кривизны кривой называется величина .

Пусть кривая задана уравнением y = f(x).

 y

 

 

 

  B

  Dj

 

Kcp = ;

Если j = j(x) и S = S(x), то .

В то же время .

Для дифференциала дуги: , тогда

Т.к. . В других обозначениях: .

 

Рассмотрим кривую, заданную уравнением: y = f(x).

 

 

 

 

 

 

Если построить в точке А кривой нормаль, направленную в сторону выпуклости, то можно отложить отрезок АС = R, где R – радиус кривизны кривой в точке А. Тогда точка С(a, b) называется центром кривизны кривой в точке А.

  Круг радиуса R с центром в точке С называется кругом кривизны.

 

Очевидно, что в точке А кривизна кривой и кривизна окружности равны.

 

  Можно показать, что координаты центра кривизны могут быть найдены по формулам:

 

  Определение: Совокупность всех центров кривизны кривой линии образуют новую линию, которая называется эволютой по отношению к данной кривой. По отношению к эволюте исходная кривая называется эвольвентой.

  Приведенные выше уравнения, определяющие координаты центров кривизны кривой определяют уравнение эволюты.

Функция выпукла вниз (вверх) на множестве X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).
На главную