Свойства эволюты. Интегральное исчисление

  Теорема 1: Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте.

  Теорема 2: Модуль разности радиусов кривизны в любых точках кривой равен модулю длины соответствующей эволюты.

 С3 

 

  С2 

  С1 

 

  R1 R2 R3

 

Надо отметить, что какой – либо эволюте соответствует бесконечное число эвольвент.

Указанные выше свойства можно проиллюстрировать следующим образом: если на эволюту натянута нить, то эвольвента получается как траекторная линия конца нити при ее сматывании или разматывании при условии, что нить находится в натянутом состоянии.

[an error occurred while processing this directive]

Пример: Найти уравнение эволюты кривой, заданной уравнениями:

 

 

Уравнения эволюты:

Окончательно: - это уравнения окружности с центром в начале координат радиуса а. Исходная кривая получается своего рода разверткой окружности.

Ниже приведены графики исходной кривой и ее эволюты.

 

Функция выпукла вниз (вверх) на множестве X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).
На главную