Кривизна пространственной кривой

 

 z

 

 

  A(x, y, z)

 

 

 

  Для произвольной точки А, находящейся на пространственной кривой, координаты могут быть определены как функции некоторой длины дуги S.

 

x = j(S); y = y(S);  z = f(S);

Приведенное выше уравнение называют векторным уравнением линии в пространстве.

  [an error occurred while processing this directive]

  Определение: Линия, которую опишет в пространстве переменный радиус – вектор при изменении параметра S, называется годографом этого вектора.

 

, тогда  - вектор, направленный по касательной к кривой в точке А(x, y, z).

  Но т.к. , то  - единичный вектор, направленный по касательной.

 

Если принять , то .

Причем .

 

Рассмотрим вторую производную

  Определение: Прямая, имеющая направление вектора называется главной нормалью к кривой. Ее единичный вектор обозначается .

 

, где К – кривизна кривой.

 

Кривизна пространственной кривой может быть найдена по формуле:

 

Возможна и другая запись формулы для кривизны пространственной кривой (она получается из приведенной выше формулы):

 

  Определение: Вектор  называется вектором кривизны. Величина   называется радиусом кривизны.

Достаточное условие выпуклости . Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на множестве X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом множестве.
На главную