http://sexencyclopedia.net/

Методы интегрирования Способ подстановки

  Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

 

  Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

ПРИМЕР. Покажем, что множество – счетное. Рассмотрим множество положительных рациональных чисел . Элементы множества можно расположить в виде бесконечной прямоугольной таблицы

 

  Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

 

  Пример.

Замена  Получаем:

  Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

Достаточное условие выпуклости . Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на множестве X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом множестве.
На главную