Интегрирование элементарных дробей Примеры решения задач

Пример.

 

  Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

 

  Пример.

Во многих вопросах геометрии, естествознания и т.д. приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных. Пример.

 

 Пример.

 

 

  Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

 

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида  можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде . Сделаем следующее преобразование:

.

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим:

Для исходного интеграла получаем:

 

 

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл .

 

  Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

 

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

  Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

 

  Пример:

 

Двойной интеграл представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости
На главную