Интегрирование биноминальных дифференциалов Определение

  Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение

xm(a + bxn)pdx

где m, n, и p – рациональные числа.

  Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки Скалярное произведение векторов и его свойства Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

, где l - общий знаменатель m и n.

2) Если   - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой

, где s – знаменатель числа р.

3) Если  - целое число, то используется подстановка , где s – знаменатель числа р.

  Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

[an error occurred while processing this directive]

  На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.

Интегралы вида .

  Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

 Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

  Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:

1)

2)

3)

Двойной интеграл представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости
На главную