Интегрирование биноминальных дифференциалов Примеры

  Пример.

.

  Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на  и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

=

=

 

Итого =

=

Бесконечно-малые функции и их свойства Функция a(х) называется бесконечно малой (сокращенно: б.м.) при х ® а (х + ¥, х ®¥, x ® x0 – 0, х ® x0 + 0), если a(х) = 0.

 

  Пример.

 

  Пример.

 

Второй способ решения того же самого примера.

 

С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением , а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают.

  Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.

 Пример.

 

Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

 

  К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

  Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

  Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

  Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:

 

1)       - интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-1840))

2)       - интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)

3)       - интегральный логарифм

4)       - приводится к интегральному логарифму

5)       - интегральный синус

6)       - интегральный косинус

Если f(x) имеет в данной точке x производную, то существует касательная к графику функции f(x) в точке M( x,f(x)) , причем угловой коэффициент этой касательной равен производной f'(x).
На главную