http://smotret-film-online.info/

Интегрирование по частям Формула парабол формула Симпсона

  Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2).

  Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

 у

 

 

 

 

 

 

  Уравнения этих парабол имеют вид Ax2 + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой. Числовые последовательности и операции над ними Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел. Примерами последовательностей могут служить: последовательность всех членов бесконечной геометрической прогрессии, последовательность приближенных значений (x1 = 1, х2 = 1,4, х3 = 1,41, ...), последовательность периметров правильных n-угольников, вписанных в данную окружность. Уточним понятие числовой последовательности.

   (1)

Обозначим .

Если принять х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то  (2)

Тогда уравнения значений функции (1) имеют вид: 

C учетом этого: .

Отсюда уравнение (2) примет вид: 

Тогда

 

  Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:

Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.

 

  Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла

 с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

 

  По формуле Симпсона получим:

  m

  0

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9

  10

  x

  -2

  -1

  0

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  f(x)

2.828

3.873

  4

4.123

4.899

6.557

8.944

11.874

15.232

18.947

22.978

 

 

  Точное значение этого интеграла – 91.173.

  [an error occurred while processing this directive]

  Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

 

  Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

  Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.

 

  Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подинтегральной функции в степенной ряд.

  Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подинтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.

Если f(x) имеет в данной точке x производную, то существует касательная к графику функции f(x) в точке M( x,f(x)) , причем угловой коэффициент этой касательной равен производной f'(x).
На главную