Нахождение площади криволинейного сектора Вычисление длины дуги кривой

 

 

 

  Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид r = f(j), где r - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси. Векторное поле Поток векторного поля через поверхность

Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле

  

Вычисление длины дуги кривой.

 y y = f(x)

 

 DSi Dyi

  Dxi

 

 

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать, что

Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции получаем

,

где х = j(t) и у = y(t).

  Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то

 

  Если кривая задана в полярных координатах, то

 

r = f(j).

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
На главную