Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

 

  Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0.

  Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

  В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

 Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М00, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение:

.

Найти объем области, ограниченной двумя параболоидами: Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

 Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

  Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).

  Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

 Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

 

 

  Уравнение касательной плоскости:

 

  Уравнение нормали:

Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором множестве X, то функция называется гладкой на этом множестве. Если производная допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая функция называется кусочно гладкой.
На главную