Производная обратных функций примеры

  Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

  Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

 

т.к. g¢(y) ¹ 0 

 

 

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции. Способ подстановки (замены переменных)

 

 

  Пример. Найти формулу для производной функции arctg.

 

  Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

 

 Известно, что  

По приведенной выше формуле получаем:

 

Т.к.  то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

 Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных

Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба значения достигаются на концах отрезка, то они равны по условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на [a,b]. Тогда производная такой функции равна нулю. Если же хотя бы одно из значений - максимальное или минимальное - достигается внутри отрезка, то производная равна нулю в силу теоремы Ферма.
На главную