Частные производные высших порядков Определения

  Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные  и  тоже будут определены в той же области или ее части.

  Будем называть эти производные частными производными первого порядка.

Производные этих функций будут частными производными второго порядка.

 

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

 

Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.

  Интегрирование по частям Методы интегрирования

Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные  определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение:

.

  Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.

 

  Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.

 

…………………

  Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего с скобках выражения.

Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором множестве X, то функция называется гладкой на этом множестве. Если производная допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая функция называется кусочно гладкой.
На главную