Экстремум функции нескольких переменных Определения

  Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М00, у0) верно неравенство

то точка М0 называется точкой максимума.

  Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М00, у0) верно неравенство

то точка М0 называется точкой минимума.

  Теорема. (Необходимые условия экстремума). Производная функции, ее геометрический и физический смысл Математика примеры решения задач

Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.

  Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.

  Теорема. (Достаточные условия экстремума).

  Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

1)      Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если

 - максимум, если  - минимум.

2)      Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума

В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором множестве X, то функция называется гладкой на этом множестве. Если производная допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая функция называется кусочно гладкой.
На главную