Дифференциал сложной функции Инвариантная форма записи дифференциала

 Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

 Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

 Однако, если х- независимая переменная, то

dx = Dx, но

если х зависит от t, то Dх ¹ dx.

Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

 

  Пример. Найти производную функции.

 

Сначала преобразуем данную функцию:

 

 Пример. Найти производную функции .

 

Простейшие векторные поля. а) Трубчатое или соленоидальное векторное поле, если div = 0 .

 Пример. Найти производную функции

 

  Пример. Найти производную функции

 

 

  Пример. Найти производную функции

Если производные f'(x),g'(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить пределом отношения вторых производных и т.д.
На главную