Формула Тейлора Интегральное исчисление форма Лагранжа

  Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ¹ а. Миноры и алгебраические дополнения.

Тогда между точками х и а найдется такая точка e, что справедлива формула:

 

 

-         это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

 

 

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

[an error occurred while processing this directive]

 Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена Pn(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а.

 

   (1)

 

  Многочлен Pn(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n, тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.

  Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:

 

   (2)

Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений:

 

   (3)

 

  Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений, получаем:

…………………….

  Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем:

 

 

  Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину Rn+1(x). Тогда:

[an error occurred while processing this directive]

f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)

 

Рассмотрим подробнее величину Rn+1(x).

 

  y Как видно на рисунке, в

 точке х = а значение мно-

 f(xRn+1(x) гочлена в точности совпа-

 дает со значением функции.

 Pn(x) Однако, при удалении от точ ки х = а расхождение значе- ний увеличивается. 

 Иногда используется другая запись для Rn+1(x). Т.к. точка eÎ(a, x), то найдется такое число q из интервала 0 < q < 1, что e = a + q(xa).

 Тогда можно записать:

Тогда, если принять a = x0xa = Dxx = x0 + Dx, формулу Тейлора можно записать в виде:

 

где 0 < q < 1

 

  Если принять n =0, получим: f(x0 + Dx) – f(x0) = f¢(x0 + qDx)×Dx – это выражение называется формулой Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик и механик).

 Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.

 При рассмотрении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора.

Если производные f'(x),g'(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить пределом отношения вторых производных и т.д.
На главную