Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора Пример

  Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.

  На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.

 

 

Рис. 1. Два члена разложения Тройные и двойные интегралы при решении задач Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

 

 

 

 

 

Рис. 2. Четыре члена разложения

 

 

 

 

 

Рис. 3. Шесть членов разложения

 

 

Рис. 4. Десять членов разложения

  Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение функции от этого числа легко вычисляется.

 

Для примера вычислим значение sin200.

Предварительно переведем угол 200 в радианы: 200 = p/9.

Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:

В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.

 

  На графике показано изменение значений разложения в ряд Тейлора в зависимости от количества членов разложения. Как видно, если ограничиться тремя членами разложения, то достигается точность до 0,0002.

  Выше говорилось, что при х®0 функция sinx является бесконечно малой и может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию х. Теперь видно, что при х, близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения, т.е. sinx @ x.

Если производные f'(x),g'(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить пределом отношения вторых производных и т.д.
На главную