Решение типовых (курсовых) заданий по ТОЭ (электротехника)

Расчет цепей синусоидального переменного тока

Задание1.2. Расчет параметров эквивапентного источника

Для схем, приведенных на рис. 1.15, требуется рассчитать значения параметров эквивалентных источников напряжения г„ и Е» по отношешно к зажимам а и б. Значения параметров элементов схем приведены в табл.

Пример 1.6. Пользуясь законами Кирхгофа, рассчитать токи в ветвях схемы, которая изображена на рис. 1.16а. Параметры элементов схемы имеют следующие значения: Е} = 40 В. Е2 ~ 20 В, и Е4 = 10 В> =3 А, г, = 5 Ом, г3 = 5 Ом, г4 = 20 Ом, г5 = 10 Ом. °

Решение. Цепь образована шестью ветвями (пи = 6). В вепвях 1, 2, 4 содержатся источники напряжения Е2, £4, а ветвь 6 содержит источник тока В цепи имеются четыре узла, зри из которых можно считать независимыми. Выберем направления токов в ветвях, как показано на рис. 1.166, и составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов I, 2, 3:

Пример 1.7. Составить топологический граф для цепи, изображенной на рис. 1.18а. Записать уравнения Кирхгофа в матричной форме и рассчитать токи в ветвях цепи при условии, что параметры элементов имеют следующие значения: Е1 = 1 В; Е2 = 5 В; Е4 = 9 В; ^ = 3 А; Л = б А; г1 = 1 Ом; г4 - 2 Ом; г5 ~ 3 Ом.

Пример 1.8. Найти токи и напряжения на всех участках электрической цепи и значение напряжения источника питания Е для схемы, изображенной на рис. 1.19, если известно, что напряжение 1/2 на сопротивлении г2 имеет значение 1/2 — 4 В. Остальные параметры цепи имеют следующие значения: Г/ = 1 Ом: г2 = 2 Ом; г} = 2 Ом; г4= 5 Ом; Е2 = 10 Я

Пример 1.9. Для электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.20, требуется определить ток источника J. если известен ток /4 = 2 А в сопротивлении г4, а также параметры элементов схемы: г^ - 4 Ом; г2 = 2 Ом ; г3 = 2 Ом ; г4 - 1 Ом.

Решение. В этой задаче, в отличие от предыдущей, имеется один- сдинственный источник тока J.

Пример 1.10. В мостовой схеме, изображенной на рис. 1.21, известен ток 1А = 0,125 А в диагональной ветви моста* Требуется определить напряжение источника Е, если параметры элементов схемы имеют следующие значения: rf = 16 Ом; г2 = г3 = 24 Ом; гА -40 Ом; г0 = 0.4 Ом.

Энергетические расчеты в цепях постоянного токаопределение мощности, рассеиваемой в сопротивлениях цепи;

определение суммарной рассеиваемой мощности;

определение мощности, которую отдает в цепь источник напряжения или тока;

проверку баланса мощностей.

Пример 1.11. Для электрической цепи, схема которой изображена на рис 1.24, выполнить расчет по условиям задания 13. Дополнительно построить потенциальную диаграмму Оля внешнего контура цепи. Параметры элементов схемы имеют следующие значения : Е/ = 30 В; Е2 = 16 В; Е} = 10 В; = 2 Ом; Я2 = 5 Ом; = 3 Ом; И4 = 1 Ом; Ъ = 8 Ом; Я Ом.

Примечание. При расчете схемы внутренние сопротивления источников напряжения считать равными нулю, т. е. полагать источники идеальными.

Выполним расчет преобразованной схемы методом узловых напряжений. В полученной схеме имеются только два узла, поэтому для нее можно составить только одно уравнение по методу узловых напряжений:

Для определения входного сопротивления Ивх неообходимо исключить из схемы источники напряжения, заменив их перемычкам, как показано на рис. 1.28а. При расчете входного сопротивления произведем замену треугольника сопротивлений /?2, /?4 эквивалентной звездой, как показано на рис. 1.286.

Всякая работа требует больше времени, чем вы думаете.

Второй закон Мерфы

Способы представления синусоидальных величин

При расчете цепей синусоидального переменного тока используют различные формы представления синусоидальных величин — напряжений и токов. Эти формы можно в общем случае разделить на две группы: аналитические и графически. К аналитическим формам можно отнести представление синусоидальных величин их мгновенными значениями. При этом используют две формы записи — с помощью функции синуса или косинуса. Продемонстрируем это на примере записи мгновенного значения гармонического напряжения:

и(1) = с/т5!п((0/ + но или м(0 = итсоь(Ш + \|/ы),

Обе эти формы можно использовать при расчете цепи по мгновенным значениям, однако следует учитывать, что согласно известному тригонометрическому 5 соотношению sin(90° ± а) ~ cosa, при второй форме записи воздействие (а соответственно, и реакция цепи) имеют дополнительный фазовый сдвиг на -м)0с. где ит — амплитуда, а ц/и — начальная фаза напряжения; со = 2п) ' = 2ти Т — упювая частота напряжения; / = 1/Т — частота.

При любом из этих видов записи мгновенное значение напряжения можно представить в виде суммы двух гармонических колебаний с нулевыми начальными фазами, находящихся в квадратуре:

Любые линейные комбинации (т е. сложение или вычитание) нескольких гармонических колебаний с одной и той же частотой о) дают результирующее колебание той же частоты. Дифференцирование и интегрирование гармонических колебаний также приводит к гармоническим колебаниям той же частоты, но сдвинутьгм по фазе на 90°, т. е. находящимся в квадратуре с исходным колебанием.

При другой форме записи гармонические колебания представляют их комплексным значением. Так, например, комплексное мгновенное значение напря жения представляют в следующем виде:

Комплексное значение колебания можно также представить в виде произведения

Очевидно, что модуль этой комплексной величины равен амплитуде колебания, а аргумент растет пропорционально текущему времени . Переход от комплексного к мгновенному значению осуществляют при помощи операций вычисления вещественной или мнимой частей комплексной величины:

где 0т = Ите^ш— комплексная амплитуда напряжения.

Применение комплексной формы записи напряжений и токов имеет ряд преимуществ по сравнению с применением мгновенных значений. Так, например, дифференцирование и интегрирование комплексного напряжения сводится к умножению или делению ею комплексной амплитуды на оператор поворота уф, так как


Графическое представление гармонических колебаний также возможно в двух формах. В первой форме колебание изображают в виде функции времени t, как показано на рис* 2.1. При этом по оси абсцисс можно откладывать не только текущее время t, но и текущее значение угла cot.

Рис. 2.1. Графическое изображение синусоидального напряжения

Литература

1.                 Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2.                 Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1.     Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью векторов?

2.     Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с использованием комплексных чисел?

3.     В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью комплексов по сравнению с их векторным представлением?

4.     Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока  записать соответствующие им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений.

5.     На рис. 5 , а . Определить .

Ответ:

При расчете цепей синусоидального переменного тока используют различные формы представления синусоидальных величин — напряжений и токов. Эти формы можно в общем случае разделить на две группы: аналитические и графически.К аналитическим формам можно отнести представление синусоидальных величин их мгновенными значениями. При этом используют две формы записи — с помощью функции синуса или косинуса. Продемонстрируем это на примере записи мгновенного значения гармонического напряжения:

и(1) = с/т5!п((0/ + но или м(0 = итсоь(Ш + \|/ы),

Пример- Гармоническое напряжение задано его мгновенным значением и(1) = 100 й\п(2001 + 60°) В, а мгновенное значение тока в цепи равно ¡(0 — 5 сов(2001 + 45°) А. Требуется для этих колебаний найти амплитуды квадратурных составляющих, записать комплексные значения напряжения и тока, построить временные и векторные диаграммы.

Решение. Вначале найдем амплитуды квадратурных составляющих напряжения и тока

Мощность и энергию в цепи переменного тока можно рассчитать при любо форме записи напряжений и токов. Различают следующие виды мощностей:

мгновенную мощность p(t) = u(t)i(t) = Р + р,

среднюю мощность Р = C//cos(p;

переменную мощность рт = Scos(2coi + + у,);

реактивную мощность Q = C//sincp = QL 4 Qc;

полную, или кажущуюся, мощность S - UI = уF + С? ;

комплексную мощность 5 = U1 = Р +- jQ.

При расчете цепей по мгновенным значениям используют приведение произвольной цепи к одной из канонических схем. В качестве канонических схем обычно используют последовательное или параллельное соединение активных и реактивных сопротивлений или проводимостей. При этом для последовательной канонической схемы пользуются последовательным соединением активного и реактивного сопротивлений г и х, а для параллельной канонической схемы — параллельным включением активной и реактивной проводимостей g и Ь. Такие соединения элементов поивелены на оис. 2.4.

Из выполненного расчета следует, что входная проводимость цепи имеет емкостной характер {Ьс > bL\ поэтому напряжение на входе цепи отстает от приложенного тока на угол <р = 71°3(Г. Векторная диаграмма, которая соответствует расчетным значениям напряжения и тока, приведена на рис. 2.56.

Решение. Определим реактивные сопротивления элементов цепи

Определим угол сдвига фаз между напряжением источника и током в цепи:

arctg (xL - хсУг = arctg (3/4)

Найдем амплитуду тока в цепи:

Решение. Расчет цепи для наглядности будем сопровождать построением векторной диаграммы. При построении векторной диаграммы будем соблюдать выбранный масштаб.

Выполним расчет напряжений и токов в цепи, Вначале построим на векторной диаграмме заданный ток /2(0 = 5$т100/ Ач как показано на рис. 2 96. Этот ток протекает через два последовательно включенных элемента: сопротивление г2 и индуктивность ¿2» напряжения на которых имеют следующие значения:

Комплексные амплитуды напряжения и тока характеризуются двумя параметрами: амплитудой и начальной фазой, а метод расчета с их использованием обычно называют методом комплексных амплитуд. Значение частоты колебаний (О входит только в комплексные сопротивления Хк. При этом комплексное сопротивление индуктивности имеет значение =• ]о)Ьк, а комплексное сопротивление емкости

Найдем полное комплексное сопротивление контура:

Решение. Используя вычисленные в примере 2.3 значения реактивных сопротивлений, запишем их комплексные значения:

Найдем комплексные амплитуды токов в элементах схемы:

Определим комплексную амплитуду напряжения на индуктив

1 Запишем комплексную амплитуду напряжения на емкости ,рис. 2.11 б):

Для расчета комплексных амплитуд токов в ветвях воспользуемся методом контурных токов. Выберем направления контур ных токов, показанные на схеме рис. 2.126, и запишем систему контурных уравнений цепи:

Рис. 2.14. Схема цепи для расчета по методу контурных токов

Определим токи в ветвях цепи, используя для этого метод контурных токов в комплексной форме. Уравнения контурных токов цепи имеют следующий вид:

 Построим топографическую диаграмм)' напряжений по внешнему контуру цепи. Эта диаграмма практически совпадает с векторной диаграммой для напряжений, так как напряжения откладываются на комплексной плоскости. Для построения этой диаграммы запишем второе уравнение Кирхгофа для внешнего контура

Решение. Рассматриваемая задача относится к разряду обратных задач. Как указывалось ранее, такие задачи можно решать различными способами. Однако анализ схемы показал, что наиболее просто се можно рассчитать методом контурных токов с перестановкой членов в уравнениях цепи.

 Составим полную схему цепи для заданных сопротивлений ветвей, приведенную на рис. 2.17л. Выберем на этой схеме направления контурных токов и составим уравнения для рассматриваемой схемы:

 Построим комплексный ток /2, полагая, что его начальная фаза равна нулю. При построении векторов тока будем использовать выбранный масштаб (одно деление длины вектора будет соответствовать току 2 А или напряжению 10 В). Таким образом, току /2 = 10 А будет соотве! ствовать вектор длиной 5 делений.

 Теперь построим на векторной диаграмме вектор напряжения

и2 = 12(гг-}хг) = (40 -./40) В,

Ток / в индуктивности ¿1 неизвестен, однако можно указать его направление, так как ток в индуктивности отстает от на- пряжения на ней на угол, равный 90°. Кроме этого, известно, что по первому закону Кирхгофа 1Х = /2 + /3. При этом известно также, что модуль вектора тока | / I - 10 А. Один из возможных вариантов построения этого уравнения Кирхгофа на комплексной плоскости приведен на рис. 2.196. Однако возможны и другие варианты построения этого уравнения В результате построения определяем токи


На главную