Задачи начертательной геометрии Комплексный чертеж Первая и вторая позиционные задачи Пересечение поверхности и плоскости Развертки поверхностей Аксонометрические проекции

Взаимное положение плоскостей

Общим случаем взаимного положения двух плоскостей является их пересечение. В частном случае, когда линия пересечения удалена в бесконечность, плоскости становятся параллельными. Параллельные плоскости совпадают при сокращении расстояния между ними до нуля.

Параллельные плоскости

Плоскости будут параллельными, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. На рис. 5.6а плоскости S и S/ параллельны, так как m½½m/ и n½½n/.

Пример решения задачи на комплексном чертеже представлен на рис. 5.6б.

Пример. Через точку A (рис. 5.6б) требуется провести плоскость S/, параллельную заданной плоскости S (D KLM). Решение: проводим через точку A две прямые m и n, параллельные двум любым прямым, находящимся в заданной плоскости, например сторонам треугольника – KM и KL, соответственно. Пересекающиеся прямые m и n задают искомую плоскость S/(mÇn).

Пересекающиеся плоскости

Линия пересечения двух плоскостей определяется

двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям;

одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии.

В обоих случаях задача заключается в нахождении точек, общих для двух плоскостей. Задача на пересечение двух плоскостей называется второй позиционной задачей. Она может быть сведена к решению первой позиционной задачи, рассмотренной ранее, по одному из следующих вариантов

.

Вариант 1: 1) в одной из плоскостей, например, S (рис. 5.7) выбирают две произвольные прямые 12 и 34; 2) определяют точки M и K пересечения этих прямых с другой плоскостью - D; точки M и K задают искомую прямую.

Вариант 2: 1) выбирают по одной прямой в каждой из заданных плоскостей, например, 12ÎD, а 34ÎS (рис. 5.8); 2) определяют точки M и K пересечения этих прямых с соответствующими плоскостями – M=12ÇS, K=34ÇD; точки M и K определяют искомую прямую.

Рассмотрим решение поставленной задачи на комплексном чертеже для плоскостей общего положения.

Пусть даны плоскости S(mÇn) и D(aççb) положения (рис. 5.9). Проведем в плоскости S прямую 12 и построим точку пересечения ее с плоскостью D. Для этого в плоскости D построим прямую 45, конкурирующую с 12 относительно П1. Прямые 12 и 45 задают горизонтально проецирующую плоскость. В пересечении прямых 12 и 45 получаем точку K искомой линии пересечения. Для построения точки M линии пересечения вводим в плоскости S прямую c, параллельную 12 и проходящую через точку 3. Конкурирующей с ней и принадлежащей плоскости D является прямая t. В пересечении прямых t и d находим точку M. Точки K и M определяют искомую прямую.

Задача существенно упрощается, если одна из плоскостей занимает проецирующее положение. На рис. 5.10 плоскость S(DABC) занимает общее положение, а плоскость D(DEFG) – горизонтально проецирующее. Так как искомая прямая принадлежит обеим плоскостям, то на П1 ее проекция будет совпадать с горизонтальным следом плоскости D. Фронтальная проекция искомой линии определена из условия принадлежности ее плоскости S.

При взгляде на плоскость П2 по горизонтальной проекции видно, что часть треугольника ABC находится перед плоскостью D. Следовательно, на П2 треугольник K2C2M2 является видимым. Он выделен штриховкой. Видимыми на П2 а, соответственно, выделены штриховкой и треугольники плоскости S в окрестностях точек A2 и B2. Это связано с тем, что они находятся вне треугольника EFG и им не перекрываются при взгляде на П2.

 6. Метрические задачи. Ортогональная проекция прямого угла

 

 К метрическим задачам, изучаемым в учебном курсе начертательной геометрии, относятся задачи, в которых требуется определить метрические характеристики заданной фигуры – длину, угол, площадь и др., а также метрические свойства и характеристики, обусловленные расположением фигуры относительно плоскостей проекций или относительно другой (других) фигур – перпендикулярность, расстояние и угол. Проекционное решение таких задач основывается на метрических свойствах ортогонального проецирования на плоскость и обратимости чертежа Монжа. Метрическими свойствами ортогонального проецирования являются существующие зависимости между длинами отрезка прямой линии и его проекции, а также между величинами угла и его проекции (см. п. 1). Из этих зависимостей вытекает теорема о проецировании прямого угла: для того, чтобы прямой угол проецировался в прямой угол, необходимо и достаточно, чтобы одна его сторона была параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна этой плоскости. Рассмотрим геометрическое доказательство. Оно позволяет более наглядно увидеть числовую и проекционную взаимосвязь двух геометрических фигур – прямого угла и его проекции.

Необходимость. Пусть ÐBAC = ÐB1A1C1 = 90° (рис. 6.1). Докажем, что АС // П1. Предположим, что АВ не параллельна П1 (если AB // П1, то плоскость угла BAC параллельна П1 и по свойству 9 ортогонального проецирования имеем:

ÐBAC =ÐB1A1C1 = 90°). Поскольку ÐB1A1C1 Ì П1, ÐB1A1C1 = 90° и AA1 ^ П1, как проецирующая линия, то плоскости S(A1B1,AA1) и D(A1C1, AA1) взаимно перпендикулярны. В этом случае АВ и AA1 суть наклонная и ее ортогональная проекция на плоскости D. Так как AC Ì D и АС ^ АВ, то по теореме о трех перпендикулярах имеем АС ^ AA1, т.е. АС // П1.

  Достаточность. Пусть ÐВАС = 90°, АС // П1. Докажем, что Ð B1A1C1 = 90°. При данных условиях имеем: AB - наклонная, А1В1 – ее проекция на П1. По теореме о трех перпендикулярах имеем: (АС ^ АВ, АС // П1 ) Þ АС ^ А1В1. Из АС // П1 следует АС // А1С1. Следовательно, А1С1 ^ А1В1 и ÐB1A1C1 = 90°.

 Из обратимости комплексного чертежа (КЧ) следует, что если А2В2, А1В1 и С2В2, С1В1 – проекции пересекающихся прямых АВ и СВ, то при выполнении одного из двух следующих проекционных условий:

1) А1В1 ^ С1В1 и А2В2 // x либо С2В2 // x;

  2) А2В2 ^ С2В2 и А1В1 // x либо С1В1 // x

в пространстве имеет место перпендикулярность АВ ^СВ (рис. 6.2).

 Метрические задачи курса начертательной геометрии можно условно разделить на следующие группы:

1) построение взаимно перпендикулярных фигур:

 прямых, плоскостей, прямых и плоскостей;

2) определение длин отрезков (расстояний) и

 натуральной величины (НВ) плоской фигуры;

3) определение углов между фигурами.

  Рассмотрим примеры решений на КЧ метрических задач в каждой группе.


Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция