Задачи начертательной геометрии Комплексный чертеж Первая и вторая позиционные задачи Пересечение поверхности и плоскости Развертки поверхностей Аксонометрические проекции

Построение взаимно перпендикулярных фигур 

 В качестве взаимно перпендикулярных будем рассматривать пары фигур: две прямые, прямая и плоскость, две плоскости, прямая и поверхность.

Перпендикулярность двух прямых

  Определение. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Перпендикулярные прямые могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

  Задача. Даны прямая АВ и точка С. Построить прямую, проходящую через точку С и пересекающую АВ под прямым углом (рис. 7.1).

Решение задачи основывается на построениях, приводящих к проекционному изображению условий теоремы о проекции прямого угла (см. рис. 6.2).

Алгоритм решения в символической записи будет следующим:

1) х1 // А1В1;

2) (А2В2, А1В1) Þ А4В4; (С2, С1) Þ С4;

3) С4D4 ^ А4В4;

4) D4 Þ D1 Î А1В1; D1 Þ D2 Î А2В2.

С1D1, C2D2 – решение задачи.

Задача. Даны прямая АВ и точка D (рис. 7.2).

Построить прямую, проходящую через точку D, перпендикулярную прямой АВ и образующую с ней  кратчайшее расстояние R, где R < r(D,AB); r – расстояние между фигурами, указанными в скобках.

Из условия задачи следует, что заданная и искомая прямая – скрещивающиеся. Концы отрезка кратчайшего расстояния R образуют два множества точек: прямую АВ и цилиндрическую поверхность вращения с осью АВ. Из точки D можно провести лишь две прямые, касательные к цилиндрической поверхности и образующие угол 90° с прямой АВ. Алгоритм решения данной задачи в символической записи имеет вид:

1) х1 // А1В1;

2) (А2В2, А1В1) Þ А4В4; (D1, D2 ) Þ D4;

3) х2 ^ А4В4;

4) (А1В1, А4В4 ) Þ А5 = B5; (D1, D4 ) Þ D5;

5) D5C5 – касательная к окружности радиуса

 R;

6) D4C4 ^ А4В4;

7) (C5, C4 ) Þ C1; (C4, C1) Þ C2.

C2D2, С1D1 – одно из двух решений задачи. 

 

 

Перпендикулярность прямой и плоскости

 Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

 Приведем без доказательства известные в школьном курсе стереометрии теоремы, необходимые для решения последующих метрических задач.

 1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая 

 перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она

 перпендикулярна этой плоскости.

 2. Через любую точку пространства проходит единственная прямая, 

 перпендикулярная данной плоскости.

  3. Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, 

 перпендикулярная данной прямой.

Для построения прямой t ' Е, перпендикулярной плоскости Σ, необходимо, на основании признака перпендикулярности, провести в плоскости две пересекающиеся прямые h и f, а затем построить прямую t по условиям: t ^ h, t ^ f (рис. 7.3). В общем случае прямые t и h, t и f – пары скрещивающихся прямых.

Задача. Даны плоскость Σ(ΔАВС) и точка Е. Построить прямую t по условиям: t ' E, t ^ Σ (рис. 7.4).

 

Решение задачи может быть следующим:

1) строятся линии уровня h и f в плоскости Σ, где

 h2 // х, f1 // x;

  2) строятся проекции t1 и t2 искомой прямой t, где

 t2 ' Е2, t2 ^ f2; t1 ' E1, t1 ^ h1. В итоге t1 , t2 – решение задачи. Прямая t скрещивается с f и h. Выбор линий уровня h и f в качестве пересекающихся прямых в плоскости Σ продиктован приведенными выше условиями теоремы о проецировании прямого угла и простотой построений на КЧ. Если точка Е находится в плоскости Σ, то последовательность построений остается прежней.

Задача. Даны прямая t и точка Е. Построить плоскость,

проходящую через точку Е и перпендикулярную прямой t (рис. 7.5).

Решение задачи основывается на построении двух линий уровня h(h1,h2) и f(f1,f2), проходящих через точку Е:

h2 ' E2 , h2 // х, h1 ' E1 , h1 ^ t1 ; f1 ' E1 , f1 // х, f2 ' E2 ,

f2 ^ t2 . Плоскость (h , f ) – решение задачи.


Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция