Задачи начертательной геометрии Комплексный чертеж Первая и вторая позиционные задачи Пересечение поверхности и плоскости Развертки поверхностей Аксонометрические проекции

 Перпендикулярность двух плоскостей

 Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Приведем без доказательства теоремы стереометрии, полезные для решения последующих метрических задач.

1. Признак перпендикулярности двух плоскостей: если плоскость проходит через

 перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

2. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то

 прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

3. Для наклонной, т. е. не являющейся перпендикуляром к плоскости, имеет место

  утверждение: через наклонную проходит единственная плоскость,

 перпендикулярная данной плоскости.

 Последнее утверждение позволяет предложить следующий алгоритм построения плоскости, проходящей через наклонную АВ и перпендикулярную заданной плоскости Σ:

1) на АВ выбирается произвольная точка Е;

2) строится прямая t таким образом, что t ' Е, t ^ h , t ^ f , где h Ì Σ, f Ì Σ (рис. 7.10),

 т.е. t ^ Σ.

Плоскость (АВ, t ) будет единственной плоскостью, перпендикулярной плоскости Σ. Заметим, что через прямую t ^ Σ проходит не одна плоскость, перпендикулярная Σ.

Задача. Даны плоскость Σ(CD, MN), где CD // MN и прямая АВ (рис. 7.11). Построить на КЧ плоскость, проходящую через АВ и перпендикулярную плоскости Σ.

Алгоритм проекционного решения задачи:

1) строятся линии уровня h(h1,h2) и f(f1,f2) в плоскости Σ,

 при этом h2 // х, f1 // х;

2) строятся проекции t1 и t2 прямой t таким образом, что

 t2 ' E2 , t2 ^ f2 ; t1 ' E1, t1 ^ h1 , где Е ÎАВ – произвольная

 точка. Плоскость (АВ, t) – решение задачи.

Задача. Даны плоскости Σ(АВ, DC) и Δ(KL, PT), где

AB Ç DC, KL // PT, а также точка Е. Построить плоскость, проходящую через точку Е и перпендикулярную обеим плоскостям Σ и Δ (рис. 9.9).

Одно из возможных решений данной задачи состоит в следующем. Вначале строится линия пересечения заданных плоскостей t = Σ Ç Δ. Затем, на основании приведенных теорем стереометрии, строится плоскость, проходящая через точку Е и перпендикулярная линии t. Будучи единственной, эта плоскость представляет собой решение задачи. Возможен другой алгоритм решения данной задачи (см. рис. 9.8):

1) из точки Е опускается перпендикуляр а

 на плоскость Σ;

2) из точки Е опускается перпендикуляр b

 на плоскость Δ.

Плоскость (a, b), где a Ç b = E, есть решение задачи. Рассмотрим реализацию этого алгоритма на КЧ (см. рис. 9.9).

1. В плоскости Σ построим линии уровня 

 h1(h11,h12) и f 1(f11, f12) . При этом 

 h12 // x; f11 // x.

2. В плоскости Δ построим линии уровня

 h2(h21,h22) и f 2(f21,f22) . При этом 

  h22 // х; f21 //х.

3. Из точки Е опускаются два перпендикуляра: а ^ Σ, b ^ Δ. При этом а2 ^ f12 ,

 а1 ^h11 ; b2 ^ f22 , b1 ^ h21 .

Две прямые а и b, пересекающиеся в точке Е, определяют искомую плоскость, т.е. плоскость, перпендикулярную заданным плоскостям Σ и Δ.


Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция