home-docktor.ru

Задачи начертательной геометрии Комплексный чертеж Первая и вторая позиционные задачи Пересечение поверхности и плоскости Развертки поверхностей Аксонометрические проекции

Определение расстояния между скрещивающимися прямыми

Приведем без доказательств сведения из стереометрии, необходимые для решения названной задачи.

1. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, 

 концы которого лежат на данных прямых и который перпендикулярен к ним.

2. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых существует и единствен.

3. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего 

 перпендикуляра.

  Задача. Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD. Определить расстояние

между прямыми (рис. 8.7).

Решение задачи выполним методом замены плоскостей проекций. Проекционный алгоритм решения в этом случае может быть следующим:

1) вводится новая система плоскостей проекций

 П1, П4 , таким образом, что П4 // АВ, т.е. на КЧ 

 строим х1 // А1В1;

2) на П4 строятся новые проекции А4В4 = НВ

 отрезка АВ, а также C4D4 ;

3) вводится новая система плоскостей П4, П5 с

 осью х2 ^ А4В4 такая, что П5 ^ AB;

4) на П5 строятся новые проекции – C5D5 и точка

 А5 = В5;

5) строится перпендикуляр E5F5 ^ C5D5 и Е5 = А5

 = В5;

В итоге, по смыслу построений в методе замены плоскостей проекций и приведенному понятию расстояния между скрещивающимися прямыми, получаем, что r(E5, C5D5) = r(AB, CD). Для полноты решения задачи необходимо вернуть отрезок EF длиной r(AB, CD) на исходные плоскости проекций:

1) строим E4F4 // x2;

2) строим E1F1 по проекциям E5F5, E4F4 ; E2F2 по

 проекциям E4F4 , E1F1 .

Отрезки E2F2 , E1F1 представляют собой основные проекции отрезка EF.

В стереометрии известно еще одно определение рассматриваемого расстояния: расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проведенными через эти прямые.

Такое определение расстояния позволяет предложить более короткий путь решения рассматриваемой задачи. Пусть AB и CD – скрещивающиеся прямые (рис. 8.8). Переместим в пространстве прямую АВ параллельно самой себе в положение А1В1 до пересечения с CD. Если взять теперь на прямой АВ любую точку Е и опустить из этой точки перпендикуляр ЕЕ1 на плоскость Σ(CD, A1B1), то длина этого перпендикуляра будет расстоянием r(AB,CD). Рассмотрим проекционное решение задачи.


Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция