Задачи начертательной геометрии Комплексный чертеж Первая и вторая позиционные задачи Пересечение поверхности и плоскости Развертки поверхностей Аксонометрические проекции

Задача. Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD (рис. 8.9). Определить  расстояние между ними.

Решение задачи может быть следующим.

1. Перенесем прямую АВ параллельно самой себе до пересечения с CD. Таких переносов может быть бесконечное множество. А1В1 ® А11В11 , А2В2 = А21В21 – наиболее простой для данного КЧ вариант переноса.

2. Получаем новые условия задачи: заданы плоскость Σ (А1В1 , CD), где А1В1 Ç CD и точка А; требуется определить расстояние r(А, Σ). Решение задачи выполняется методом замены плоскостей проекций по ранее изложенной схеме проекционного решения.

 

9. Определение углов между

 фигурами

 

Фигуры пространства: прямые линии, плоскости, прямые и плоскости могут образовывать между собой углы – геометрические фигуры с соответствующими этим фигурам величинами. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в начертательной геометрии углы. 

 

 9.1. Углы между прямыми

Приведем известные из школьного курса стереометрии понятия и определения, необходимые для решения последующих метрических задач:

1) плоский угол – фигура, образованная двумя лучами с общим началом и одной из 

 плоских областей, ограниченной ими;

2) угол между пересекающимися прямыми – величина наименьшего из плоских

  углов, образованных этими прямыми;

3) угол между скрещивающимися прямыми – это угол между пересекающимися

 прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым.

В последнем определении величина угла между двумя скрещивающими прямым не зависит от выбора пары пересекающихся прямых, параллельных им. Рассмотрим несколько задач на определение углов.

Задача. Даны пересекающиеся отрезки АВ и АС (рис. 9.1). Определить угол между ними.

Поскольку искомый угол является плоской фигурой, то решение задачи сводится к определению НВ плоской фигуры. Ее проекционное решение изложено в п. 1. Напомним алгоритм этого решения. Он основан на методе замены плоскостей проекций и применительно к условиям данной задачи может быть следующим:

1) строится линия уровня, например, h(h1,h2 ), принадлежащая плоскости Σ(АВ, АС), при этом h2 // х;

2) строится ось проекции x1^ h1 , что соответствует в пространстве введению новой

 системы плоскостей проекций П1, П4, где П4 ^ h;

3) на П4 строится вырожденная проекция В4С4 плоскости Σ;

4) строится ось проекции x2 // В4С4 , что соответствует в пространстве введению

 новой системы плоскостей проекций П4 , П5 , где П5 // Σ;

5) на П5 строится угол Ð(А5С5 , А5В5 ) = a, который и является искомым.

  Задача. Даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD (рис. 9.2). Определить 

угол между ними.

Решение задачи выполним, опираясь на определение угла между скрещивающимися прямыми, приведенное выше, а также учитывая алгоритм проекционного решения предыдущей задачи. Для этих целей переместим одну из прямых, например DC, в положение, когда она, оставаясь параллельной самой себе, будет пересекать другую прямую АВ. Таких положений существует бесчисленное множество. Одно из них, D1C1 (D11C11 , D21C21 ), где D11С11 // D1С1 , D21С21 = D2C2 , показано на КЧ (см. рис. 9.2). В итоге получаем пару пересекающихся прямых АВ Ç D1С1 , угол между которыми может быть определен на основании вышеприведенного проекционного алгоритма. Эту часть решения задачи рекомендуется выполнить самостоятельно.

Рассмотрим еще одно проекционное решение данной задачи. Смысл его заключается в построении такой дополнительной плоскости проекций, на которой ортогональные проекции заданных скрещивающихся прямых суть пересекающиеся

прямые, соответственно параллельные этим скрещивающимся прямым. Угол между такими ортогональными проекциями является искомым. Указанная плоскость проекций перпендикулярна прямой кратчайшего расстояния между заданными скрещивающимися прямыми.

 Задача. Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD. Определить угол между ними 

(рис. 9.3).

Проекционное решение этой задачи, в соответствии с предложенной выше схемой, будет следующим:

1) строится ось проекции x1 // C1D1 (x1 можно строить параллельно любой из

 четырех ортогональных проекций прямых АВ и CD), которая вместе с 

 плоскостями П1 , П4 образует новую систему плоскостей проекций, такую, что

 П4 // CD;

2) на П4 строятся дополнительные проекции А4В4 , C4D4 прямых АВ и CD, при этом

 C4D4 есть НВ отрезка CD;

3) строится ось проекции x2 ^ C4D4 , которая вместе с П4 , П5 образует новую

 систему плоскостей проекций, такую, что П5 ^CD;

4) на П5 строятся дополнительные проекции А5В5 и C5 = D5 прямых АВ и CD;

5) строится ось проекции x3 // А5В5 , которая

 вместе с П5, П6 образует новую систему

 плоскостей проекций, такую, что П6 // AB;

6) на П6 строятся дополнительные проекции

 А6В6 и C6D6 , представляющих собой НВ

 прямых АВ и CD и образующих между собой

 гол a, являющийся решением задачи.

 

 

 

 

 

 

 


Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция