Задачи начертательной геометрии Комплексный чертеж Первая и вторая позиционные задачи Пересечение поверхности и плоскости Развертки поверхностей Аксонометрические проекции

Угол между прямой и плоскостью

 Определение. Углом между наклонной прямой и плоскостью называется угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, то угол между прямой и плоскостью принимается равным нулю. В случае перпендикулярности прямой и плоскости угол между ними по определению равен 90°. Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью заключен в отрезке 0 £ a £ 90°.

Задача. Даны прямая DE(рис. 9.4) и плоскость Σ(ΔАВС). Определить угол между ними.

Проекционное решение задачи основывается на построении прямоугольного треугольника ЕЕ1F (рис. 9.5), в котором: EF – гипотенуза на заданной наклонной а, при этом Е – произвольная точка, F = а Ç Σ, Σ – заданная плоскость; Е1F – катет на плоскости Σ, представляющий собой ортогональную проекцию отрезка EF; a = Ð(EF, FЕ1 ) – искомый угол. Рассмотрим алгоритм проекционного решения, представленного на рисунке 9.4.

1. В плоскости Σ выбирается линия уровня,

 например, горизонталь h(h1, h2 ). При этом

  h2 // x.

2. Вводится новая система плоскостей проекций П1 , П4 с осью x1 ^ h1 , такая, что 

 П4 ^ h .

3. На П4 строится вырожденная проекция А4В4 плоскости Σ и дополнительная 

 проекция D4Е4 прямой DE.

4. Определяются дополнительные проекции F4 и F1 точки пересечения F = а Ç Σ, при этом E1F1 , E4F4 – проекции гипотенузы EF в прямоугольном треугольнике ЕЕ1F.

5. Строится перпендикуляр Е4Е41 ^ А4В4 , при этом Е4Е41 = ЕЕ1 – катет 

 прямоугольного треугольника ЕЕ1F.

6. Введением системы плоскостей проекций П4, П5 с осью x2 // E4F4 и П5 // EF

 определяется НВ гипотенузы EF, равная E5F5.

7. В стороне от проекционных построений на КЧ строится прямоугольный

 треугольник ЕЕ1F по катету ЕЕ1 и гипотенузе EF.

Угол a= Ð(E1F, EF) является искомым.

Рассмотрим еще одно проекционное решение, основанное на треугольнике ЕЕ1F.

 Задача. Даны прямая а и плоскость Σ(ΔАВС). Определить угол между ними

(рис.  9.6).

 

 

 

 

В прямоугольном треугольнике ЕЕ1F искомый угол a может быть определен как a = 90°j, где j – угол между прямой а, на которой расположена гипотенуза EF

(см. рис. 9.5), и перпендикуляром t ^ Σ, на котором расположен катет Е1Е1.

Предлагаемое ниже проекционное решение данной задачи направлено на определение угла j = Ð(а, t).

1. Построим в плоскости Σ две линии уровня h(h1, h2 ) и f(f1, f2), где h2 // х, f1 // х.

  2. Из произвольной точки Е Î а опустим перпендикуляр t ^ Σ, при этом t2

 проходит через E2 , t2 ^ f2; t1 проходит через E1 , t1 ^ h1 .

3. Определяем угол j = Ð(а, t ) в следующей последовательности:

 1) в плоскости Δ(а, t ) выбирается линия уровня, например, h1(h11, h21 ), где 

 h21 // х;

 2) введением системы плоскостей проекций П1 , П4 с осью x1 ^ h11 строится на

 П4 вырожденная проекция Е4 h41 плоскости Δ;

  3) введением системы плоскостей проекций П4 , П5 с осью x2 // Е4 h41 строится на

 П5 угол j = Ð(t5 , а5 );

 4) построением прямого угла определяется искомый угол a = Ð(а, Σ) = 90°j.

Угол между плоскостями.

Для двух плоскостей существует понятие двугранного угла.

 Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой t и двумя полуплоскостями с общей границей t , не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями, прямая t – ребром двугранного угла. Двугранный угол с гранями Σ и Δ и ребром t обозначается ΣtΔ.

 Определение. Отметим на ребре точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно ребру. Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла. Величина двугранного угла не зависит от выбора его линейного угла.

 Задача. Даны две плоскости Σ(ΔАВС) и Δ(ΔKML). Определить угол между

плоскостями (рис. 9.7).

Проекционное решение задачи заключается в построении линии пересечения плоскостей Σ и Δ, являющейся по определению ребром двугранного угла, и 

последующим проецированием ее в точку на дополнительной плоскости проекций. Исходные плоскости Σ и Δ будут иметь на этой плоскости вырожденные проекции – прямые, пересекающиеся в указанной точке. Угол между этими прямыми есть решение задачи. Последовательность предлагаемого проекционного решения будет следующей:

1) в одной из двух данных плоскостей, например Σ, строится линия уровня, 

 например h(h1, h2 ), где h2 // х;

2) введением новой системы плоскостей проекций П1 , П4 с осью x1 ^ h1 и П4 ^

 строятся на П4 дополнительные проекции плоскостей – В4С4 для Σ и ΔK4M4L4 для 

 плоскости Δ;

3) отмечаются отрезки 1424 и 1121 – дополнительные проекции линии t(1121,1424)) пересечения заданных плоскостей;

4) в каждой из плоскостей Σ и Δ выбирается по одной точке, например, А Î Σ и

 К Î Σ;

5) введением новой системы плоскостей проекций П4 , П5 с осью x2 // 1424 и

  П5 // t(1,2) строятся на П5 дополнительные проекции 1525 , А5 , К5 фигур – линии

 пересечения t (1, 2) и точек А, К;

6) введением новой системы плоскостей проекций П5 , П6 с осью x3 ^ 1525 и

 П6 ^ t(1,2) строится на П6 линейный угол a двугранного угла ΣtΔ, который и 

 является решением задачи.

 

Возможно другое проекционное решение рассматриваемой задачи, основанное на следующем алгоритме:

1) в пространстве выбирается произвольная

 точка Е (рис. 9.8).

2) опускаются два перпендикуляра – а ^ Σ, а

 проходит через точку Е; b ^ Δ, b проходит 

 через точку Е;

3) из свойств плоского четырехугольника EMFN

 следует, что величина a искомого линейного угла двугранного угла ΣtΔ равна 180°j, где j = Ð(a, b). 

 Задача. Даны плоскости Σ(АВ, DC), где АВ Ç DC и Δ(KL, PT), где KL // PT

(рис. 9.9). Требуется построениями определить угол между плоскостями. 

 

 

 

 

Последовательность проекционного решения может быть следующей:

1) в плоскости Σ строятся линии уровня f(f11, f21 ) и h(h11, h21 ), где f11 // х, h21 // х, а в

 плоскости Δ – линии уровня h2(h12 , h22 ) и f2(f12 , f22 ),где h22 // х, f12 // х;

2) из точки Е пространства опускаются два перпендикуляра – а (а1,а2 ) ^ Σ и b (b1, b2 ) ^ Δ, при этом а2 ^ f21 , b2 ^ f22 , a1 ^ h11 , b1 ^ h12 ;

3) в плоскости построенных пересекающихся прямых а и b выбирается линия 

 уровня, например h(h1, h2 ), где h2 // х;

4) вводится новая система плоскостей проекций П1, П4 с осью x1 ^ h1 и П4 ^ h ;

5) на П4 строится вырожденная проекция а4 = b4 плоскости прямых а и b;

6) вводится новая система плоскостей проекций П4 , П5 с осью x2 // а4 и П5 // (а, b),

 где (а, b) – плоскость прямых а и b;

7) на П5 строится угол j = Ð( а5 , b5 ), который позволяет определить искомый угол

 a между плоскостями Σ и Δ, равный 180°j.

В соответствии с понятием угла в стереометрии, угол между плоскостями должен быть острым. Поэтому необходимо принять в приведенном проекционном решении значение угла между плоскостями Σ и Δ, равное φ.


Снятие и установка защиты porsche подробности на сайте. | Магазины стоматологических материалов.
Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция