Задачи начертательной геометрии Комплексный чертеж Первая и вторая позиционные задачи Пересечение поверхности и плоскости Развертки поверхностей Аксонометрические проекции

Поверхности вращения.

Поверхностью вращения называется поверхность, полученная при вращательном движении образующей (прямой или кривой) вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения (рис. 11.8). Геометрической частью определителя поверхности вращения является образующая и ось вращения. Каждая точка образующей n при своем вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси i, а центр расположен на оси. Эти окружности называются параллелями (на рис. 11.8 – например, окружность 1). Наименьшая из параллелей (окружность 2) называется горлом, а наибольшая (окружность 3) – экватором.

Плоскость, проходящая через ось вращения, называется меридианальной. Линию ее пересечения с поверхностью – меридианом. Если меридианальная плоскость параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость меридиан проецируется без искажения. Такой меридиан называется главным.

На чертеже поверхность вращения однозначно задается своим определителем. Однако для наглядности чертеж поверхности дополняют очерками. На рис. 11.9 показано построение очерков для поверхности, заданной осью i (i ^П1) и образующей n.

Возьмем на образующей n(n1, n2) произвольную точку 1(11, 12). При вращении образующей вокруг оси i(i1, i2), точка 1 опишет окружность, плоскость которой перпендикулярна оси, а центр расположен на оси. Так как ось поверхности перпендикулярна П1, то плоскость окружности параллельна П1 и окружность проецируется на П1 в окружность с центром i1, проходящую через точку 11. На П2 окружность проецируется в отрезок А2В2, перпендикулярный i2 и равный А1В1 (диаметру окружности). Точки А2 и В2 принадлежат фронтальному очерку поверхности. Выполнив описанные выше построения для других точек образующей n, и соединив их плавной линией, получим фронтальный очерк m2 поверхности вращения. Горизонтальным очерком поверхности является окружность, проходящая через точки С1, D1.

Ниже приведены некоторые частные виды поверхностей вращения, для которых показана геометрическая часть определителя и построены их очерки.

Поверхности, образованные вращением прямой линии:

а) цилиндрическая поверхность вращения – получена вращением прямой n вокруг параллельной ей оси i (рис. 11.10);

б) коническая поверхность вращения – образована вращением прямой n вокруг пересекающейся с ней осью i (рис. 11.11);

 в) однополостный гиперболоид вращения – это поверхность, полученная вращением прямой n вокруг скрещивающейся с ней осью I (рис. 11.12).

Поверхности, образованные вращением кривых второго порядка (уравнение такой кривой на плоскости в декартовой системе координат – алгебраическое второй степени):

а) сфера - поверхность, образованная вращением окружности вокруг прямой, проходящей через ее центр (на рис. 11.13 взята ось, перпендикулярная П1);

б) тор – поверхность, полученная при вращении окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр; если ось не пересекает окружность, то такая поверхность называется открытым тором – r > R(рис. 11.14), а если пересекает или касается – то закрытым тором – r £ R (рис. 11.15);

в) эллипсоид вращения – поверхность, полученная вращением эллипса вокруг его оси; если осью вращения является малая ось эллипса (рис. 11.16), то получается сжатый эллипсоид вращения, а если большая ось эллипса – то вытянутый эллипсоид вращения;

г) параболоид вращения – получается во вращательном движении параболы вокруг ее оси;

д) двухполостный гиперболоид вращения – поверхность, образованная вращением гиперболы вокруг ее действительной оси (рис. 11.18);

e) однополостный гиперболоид вращения – поверхность, образованная вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси (рис. 11.19).


Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция