Задачи начертательной геометрии Комплексный чертеж Первая и вторая позиционные задачи Пересечение поверхности и плоскости Развертки поверхностей Аксонометрические проекции

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ФИГУР

Пересечение поверхности и плоскости

Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой плоскую кривую, называемую сечением. Точки этой кривой можно рассматривать как точки пересечения линий поверхности с плоскостью или прямых плоскости с поверхностью. Отсюда следует два варианта построения сечения:

1) выбираем конечное число линий на поверхности и определяем точки пересечения их с плоскостью;

2) выделяем конечное число прямых на плоскости и строим точки пересечения их с поверхностью.

 Заметим, что возможно решение, представляющее собой комбинацию этих вариантов. В любом случае  построение сечения сводится к многократному применению алгоритма решения задачи на пересечение линии и поверхности.

Определение проекций линий сечения рекомендуется начинать с построения его опорных (характерных) точек. К ним относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхности (они определяют границы видимости проекций кривой), а также точки, удаленные на экстремальные расстояния от плоскостей проекций. После этого определяют промежуточные точки сечения.

Построение сечения существенно упрощается, если плоскость занимает проецирующее положение. Это связано с тем, что проецирующая плоскость характеризуется собирательным свойством. В этом случае одна из проекций сечения находится на следе плоскости, т.е. известна.

Пример 1. Построить проекции сечения конической поверхности вращения с фронтально-проецирующей плоскостью S (рис. 12.1).

Решение. Заданная плоскость S пересекает исходную поверхность по эллипсу, фронтальная проекция которого расположена на следе этой плоскости. Горизонтальную проекцию сечения строим по точкам в соответствии с задачей на принадлежность линии поверхности (см. рис. 12.1).

Проекцию эллипса на плоскости P1 можно построить также по его большой A1B1 и малой C1D1 осям. Фронтальная проекция малой оси эллипса (точки C2=D2) находится на середине отрезка А2В2.

Пример 2. Построить пересечение многогран-ника плоскостью.

В пересечении гранных поверхностей плос-костями получаются многоугольники. Их вершины определяются как точки пересечения ребер гранных поверхностей с секущей плоскостью.

Многоугольник сечения может быть построен двумя способами:

Вершины многоугольника находятся как точки пересечения прямых (ребер) с секущей плоскостью;

Стороны многоугольника находятся как линии пересечения граней (плоскостей) многогранника с секущей плоскостью.

На (рис. 12.2) показано построение сечение пирамиды плоскостью S.

Секущая плоскость является фронтально - проецирующей, следовательно, все линии, лежащие в этой плоскости, совпадут с фронтальным следом S2 плоскости S. Следовательно, фронтальная проекция 122232 сечения определится при пересечении фронтальных проекций ребер пирамиды со следом S(S)2. Горизонтальные проекции точек 1(11), 2(21) и 3(31) находим из условия принадлежности точек ребрам пирамиды.

Пример 3. Построить линию пересечения цилиндрической поверхности вращения с плоскостью S(S)2 (рис. 12.3).

Решение. Вначале находим опорные точки A(A1, A2), B(B1, B2), C(C1, C2) и D(D1, D2). Точки А и В находятся в пересечении образующих фронтального контура поверхности и плоскости S (вначале определяем A2 и B2, а затем по линиям проекционной связи - A1 и B1). Точки С и D являются точками пересечения горизонтального контура поверхности и плоскости S. На П2 горизонтальный контур совпадает с проекцией оси поверхности вращения, а на П1 является очерком. Тогда, вначале строим C2 и D2, а затем C1 и D1.

Точки 1(11, 12), 2(21, 22), …, 8(81, 82) – это промежуточные точки сечения. Они построены введение промежуточных прямолинейных образующих поверхности. Вначале проводим проекции образующих на П2, например, через точки 12, 22 (образующие – фронтально конкурирующие). На П3 эти образующие проецируются в точки 13 и 23. Горизонтальные проекции образующих построены по двум заданным, как показано на рис. 12.3, отложив соответствующие значения координаты y.

12.2. Пересечение конической поверхности вращения плоскостью

В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конической поверхности вращения могут получиться различные линии. Они называются коническими сечениями. На рис. 12.4 приведена фронтальная проекция конической поверхности вращения (ось i параллельна П2) и фронтально проецирующие плоскости …, На рис. 12.5 показаны наглядные изображения результатов пересечения плоскостями тел, ограниченных конической поверхностью вращения.

В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность (рис. 12. 4а).

Эллипс получается в том случае, если секущая плоскость пересекает все образующие поверхности и не перпендикулярна оси i (рис. 12. 4б).

Плоскость параллельна одной образующей поверхности и пересекает одну половину конической поверхности. Сечением является парабола (рис. 12. 4в).

Плоскость параллельна двум образующим и пересекает обе половины конической поверхности (сечение – гипербола) (рис. 12. 4г).

Плоскость проходит через вершину конической поверхности (сечение – две пересекающиеся прямые) (рис. 12. 4д).

а) б) в) г) д)

 Рис. 12.5

12.3. Пересечение линии и поверхности.

Линия и поверхность пересекаются в общем случае в нескольких точках А, В, … . Алгоритм их определения может быть построен на тех же рассуждениях, что и при построении точки пересечения прямой и плоскости. Действительно, точки A, B, … пересечения линии m и поверхности Q принадлежат также линиям, проходящим через эти точки и лежащим на заданной поверхности. Кривую n можно рассматривать как проекцию линии m на поверхность Q. Тогда, в случае параллельного проецирования, линии n и m будут располагаться на одной цилиндрической поверхности, у которой направляющей является кривая m, а образующие параллельны направлению проецирования. В случае если линия прямая, то n и m находятся в одной плоскости S (рис. 12.6). Если направление проецирования будет перпендикулярно какой-либо плоскости проекций, линии n и m будут конкурирующими  относительно соответствующей плоскости проекций.

Пример 1. Даны прямая m и тор. Построить точки пересечения прямой и поверхности. (рис. 12.7)

Решение.

1. Выбираем на заданной поверхности линию n, например, фронтально конкурирующую с заданной прямой m. Линии n и m пересекаются, т.к. они находятся в одной фронтально проецирующей плоскости.

2. Определяем горизонтальную проекцию линии n (n1), исходя из условия принадлежности ее поверхности.

3. Находим точки A и B пересечения линий n и m, которые и являются искомыми.

4. Устанавливаем  види-мость проекций прямой. Так, участок AB прямой m , расположен внутри поверхности, то он невидим на P1 и P2. Кроме этого, на P2 невидим отрезок прямой m правее точки B2 до точки на очерке поверхности, а на P1 – левее точки 51, также до точки на очерке поверхности. Эти отрезки закрыты поверхностью – находятся за контурами поверхности.

Пример 2. Даны кривая n и цилиндроид G(a, b, S) (рис. 12.8). Построить точки пере-сечения линии и поверхности.

Решение.

1. На поверхности цилиндроида вводим кривую m, фронтально конкурирующую с линией n. Эти кривые пересекаются (в общем случае), т.к. расположены на одной фронтально проецирующей цилиндрической поверхности, у которой линия n – направляющая, а образующие перпендикулярны P2.

 2. Строим горизонтальную проекцию кривой m(m1) (mÌG).

3. Находим горизонтальную проекцию точки A(A1) - A1 = n1 Ç m1, а затем и A2(A2 Ì n2).

Пример 3. Даны прямая n и коническая поверхность (рис. 12.9). Построить точки пересечения линии и поверхности.

Решение.  Поставленную задачу также можно решить, задав на конической поверхности линию m, конкурирующую с прямой n относительно плоскости проекций P1 или P2. Полученные кривые будут лекальные, что требует значительных построений и снижает точность решения задачи. Так как заданная поверхность линейчатая, то в качестве линии m на поверхности целесообразно взять прямую (или прямые). Тогда алгоритм решения задачи будет следующим:

1. Спроецируем из точки S прямую n на плоскость P1, т.е. определим центральную проекцию прямой n на плоскость P1. Для этого проводим два проецирующих луча через точки 1 и 5 прямой до пересечения с плоскостью проекций P1. Точки 1 и 2 задают центральную проекцию прямой n на P1.

2. Строим образующие m1 и m2 на конической поверхности, конкурирующие с n относительно П1 при ее центральном проецировании.

3. Находим точки A и B пересечения прямой n с образующими m1 и m2. Точки A и B - искомые.

4. Устанавливаем видимость проекций прямой n.


Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция