Задачи начертательной геометрии Комплексный чертеж Первая и вторая позиционные задачи Пересечение поверхности и плоскости Развертки поверхностей Аксонометрические проекции

Пересечение поверхностей

Линия пересечения двух поверхностей представляет собой в общем случае пространственную кривую. Любая точка этой линии  принадлежит как первой, так и второй поверхностям и может быть определена в пересечении линий, проведенных на этих поверхностях. Тогда имеем следующие варианты решения данной задачи:

 1) выбирают на одной из поверхностей ко-нечное число линий и строят точки пересечения их с другой поверхностью (см. 12.3);

 2) выделяют на заданных поверхностях два семейства линий и находят их точки пересечения. Во втором варианте выделение пересекающихся пар кривых выполняют с помощью вспомогательных  поверхностей посредников.

Рассмотрим подробнее алгоритм решения задачи с использованием поверхностей посредников. Этот способ заключается в следующем.

Пусть даны пересекающиеся поверхности F и Y (рис. 12.10). Введем вспомогательную секущую поверх-ность Q1. Эта поверхность называется посредником. Она пересечет поверхности F и Y по линиям m1 и k1, соответственно. Пересечение линий m1 и k1 даст точку M, принадлежащую искомой линии пересечения t, так как она принадлежит обеим поверх-ностям. Вводя ряд посредников, получаем семейство точек линии пересечения.

В качестве поверхностей посредников наиболее часто применяют плоскости или сферы. В зависимости от вида посредников выделяют следую-щие наиболее часто применяе-мые способы построения линии пересечения двух поверхностей:

а) способ секущих плоскостей;

б) способ сфер.

Посредники выбираются так, чтобы линии mi и ki можно было легко построить, т.е. чтобы они были графически простыми (прямые или окружности).

Задача упрощается, если одна из поверхностей занимает проецирующее положение. Тогда эта поверхность вырождается в окружность (цилиндрическая) или многоугольник (призматическая). Одна из проекций искомой линии будет находиться на вырожденной проекции поверхности, а значит известна. Вторая проекция линии находится из условия принадлежности ее поверхности. На рис. 12.11 показано построение линии пересечения цилиндрической и конической поверхностей вращения. Так как ось цилиндрической поверхности перпендикулярна П1, то на П1 поверхность проецируется в окружность. На эту же окружность проецируется и искомая линия. Точки A, B, C, D, E и F – опорные точки. Точки А и F принадлежат горизонтальному, а точка Е фронтальному контурам цилиндрической поверхности. На фронтальном контуре конической поверхности расположены точки В и С. Точка D – экстремальная.

Другие точки линии пересечения, обозначенные цифрами, - промежуточные. Фронтальные проекции линии построены из условия принадлежности ее конической поверхности.

12.4.1. Способ вспомогательных секущих плоскостей

Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения
(рис. 12.12 и рис. 12.13).

Решение. Заданные поверхности – поверхности вращения. Оси заданных поверхностей параллельны П2, (любой диаметр сферы может быть принят за ось вращения), а их общая плоскость симметрии параллельна фронтальной плоскости проекций. Следовательно, на заданных поверхностях можно выделить два семейства окружностей, располо-женных в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости проекций. Это значит, что для решения данной задачи можно использовать в качестве пос-редников горизонтальные

 Рис. 12.12 плоскости уровня.

Характерными точками проекций линии пересечения поверхностей являются точки A, B и С, D. Точки A, B находятся в пересечении очерковых образующих поверхностей, т.к. эти образующие расположены в общей плоскости симметрии поверхностей.

Точки С и D являются точками видимости горизонтальной проекции линии пересечения. Их построения выполнены в такой последовательности:

через центр сферы проведена горизонтальная плоскость уровня Q;

построена горизонтальная проек-ция окружности радиуса R1, по которой плоскость Q пересекает коническую поверхность; эта же плоскость пересекает сферу по экватору (окружности максимального радиуса);

построена горизонтальная проек-ция окружности радиуса R1, по которой плоскость Q пересекает коническую поверхность; эта же плоскость пересекает сферу по экватору (окружности максимального радиуса);

определены точки C1, D1 пересечения окружности радиуса R1 с очерком сферы; 

установлены фронтальные проекции точек С(С2), D(D2) из условия принадлежности их плоскости Q.

Для построения промежуточных точек 1(11,12), 2(21,22), …, 6(61,62) линии пересечения заданных поверхностей используем плоскости  и .

Полученные точки соединим плавной кривой линией.

Видимость линии пересечения определяется на каждой поверхности отдельно. Затем устанавливаются участки, видимые одновременно для обеих поверхностей. Так при проецировании коническая поверхность своих точек не закрывает, а сфера закрывает точки, расположенные ниже горизонтального контура. Точки С и D, расположенные на горизонтальном очерке, и отделяют видимую часть линии от невидимой. Невидимая часть показана штриховой линией. На П2 проекции видимой части линии пересечения совпадает с проекцией невидимой, так как фронтальные очерки обеих поверхностей расположены в плоскости симметрии поверхностей.

12.4.2. Способ концентрических сфер

Этот способ широко используется при решении задач на построение линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. В основе этого способа лежит следующее свойство поверхностей вращения: две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их пулумеридианов. Эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси поверхностей вращения. У сферы любой диаметр можно принять за ось вращения. Следовательно, сфера с центром  на оси поверхности вращения пересекает эту поверхность по одной или нескольким окружностям. Если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость линия пересечения проецируется в отрезок прямой линии. На рис. 12.14а и рис. 12.14б показано пересечение сферы цилиндрической и конической поверхностями вращения, соответственно. На рис. 12.14в приведены пересекающиеся соосные цилиндрическая и коническая поверхности вращения.

Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер - сфер с постоянным центром. Этот способ применяют при выполнении следующих условий:

а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения; 

б) оси этих поверхностей должны пересекаться; точку их пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;

в) плоскость симметрии поверхностей должна быть параллельна какой- либо плоскости проекций (в противном случае применяют преобразование чертежа).

 Рассмотрим построение линии пере-сечения конических поверхностей вращения. На рис. 12.15 показано наглядное  изображение, а на

 Рис. 12.15 рис.12.16 – комплексный чертеж этих поверхностей. Поверхности и их расположение удовлетворяет приведенным выше условиям. 

  Прежде чем строить промежуточные точки, необходимо найти опорные точки линии пересечения. Точки А, В, K и L, а также E, F, С и D – это точки, принадлежащие контурам поверхностей. Их можно найти способом концентрических сфер или с помощью плоскостей посредников S(S2) и D(D1).

Рассмотрим теперь построение промежуточных точек на примере точек 5 и 6. Построения выполняем на фронтальной плоскости проекций. Сфера посредник Q(Q2) с центром в точке О(О2) пересекает конические поверхности по окружностям, которые на П2 проецируются в отрезки  и  (проекции двух других окружностей не показаны). Точки 52=62 их пересечения являются фронтальными проекциями точек 5 и 6, которые принадлежат линии пересечения поверхностей, так как принадлежат каждой из этих поверхностей.

Горизонтальные проекции точек 5 и 6 находим из условия принадлежности точки поверхности. В данном случае используется принадлежность точек окружности  на “вертикальной” конической поверхности. Точки 52 и 62 находятся по линии проекционной связи на .

Аналогично можно построить любое количество точек искомой линии пересечения. Однако нужно иметь ввиду, что не все сферы могут быть использованы для решения задачи. Рассмотрим предельные границы вспомогательных сфер.

Радиус сфер посредников изменяется в диапазоне

Rmax ³ R ³ Rmin,

где Rmin – минимальный радиус сферы, Rmax – максимальный радиус сферы.

Сфера минимального радиуса Rmin - это сфера, которая касается одной поверхности и пересекает другую (или тоже касается). На рис. 12.21 такая сфера касается “горизонтальной” конической поверхности. С помощью сферы минимального радиуса построены точки 12=22 и 32=42. Горизонтальные проекции точек 1, 2, 3 и 4 построены аналогично точкам 5 и 6.

Радиус максимальной сферы равен расстоянию от точки пересечения осей поверхностей до самой удаленной точки пересечения контурных образующих этих поверхностей. На рис 12.16 - Rmax =êO2L2ê.

Для установления видимости проекций линии пересечения анализируем расположение точек относительно контуров поверхностей. Так, относительно П1, видимым будет участок кривой, расположенный выше контура горизонтальной конической поверхности (вторая поверхность на видимость на П1 не влияет). Горизонтальная проекция невидимой части линии показана штриховой линией. Точки А, В и K, L принадлежат фронтальным контурам поверхностей и отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой при проецировании на П2. Фронтальные проекции видимой и невидимой частей линии пересечения на рис. 12.16 совпадают.


Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция