http://sensor.dp.ua/ учебник бесконтактные концевые выключатели.

Задачи начертательной геометрии Комплексный чертеж Первая и вторая позиционные задачи Пересечение поверхности и плоскости Развертки поверхностей Аксонометрические проекции

Развертки поверхностей

 Определение. Если поверхность, представляемую в виде тонкой, гибкой и нерастяжимой пленки, можно путем изгибания совместить с плоскостью без разрывов и складок, то поверхность, обладающая этим свойством, называется развертывающейся, а фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью, называется разверткой. В математике доказано, что к развертывающимся относятся лишь три группы линейчатых поверхностей: конические, цилиндрические и торсовые (поверхности касательных к пространственной кривой). У этих поверхностей вдоль каждой прямолинейной образующей существует единственная касательная плоскость, у остальных линейчатых поверхностей вдоль образующей прямой существует бесконечное множество таких плоскостей. Изгибание поверхности на плоскость приводит к соответствию, устанавливаемому между множеством точек поверхности и множеством точек ее развертки. Это соответствие обладает следующими свойствами:

точке поверхности соответствует единственная точка развертки и наоборот;

длины соответственных линий поверхности и ее развертки равны;

углы, образованные линиями на поверхности, равны углам, образованным соответствующими линиями на развертке;

площади соответственных фигур на поверхности и на развертке равны.

Из приведенных свойств вытекают следствия:

прямая линия поверхности преобразуется в прямую линию развертки;

  2) параллельные линии поверхности преобразуются в параллельные прямые ее 

развертки.

Для развертывающихся линейчатых поверхностей строятся графически приближенные развертки, поскольку в процессе построения развертки эти поверхности заменяются (аппроксимируются) вписанными или описанными многогранными поверхностями. Точные развертки аппроксимирующих многогранных поверхностей принимаются за приближенные развертки развертывающихся поверхностей. Для поверхностей, которые не являются развертывающимися, строятся условные развертки по следующей схеме:

НП Þ РП Þ ГП ~ ТР, где НП – неразвертывающая поверхность, РП – развертывающаяся поверхность, ГП – гранная поверхность, ТР – точная развертка, Þ – этап аппроксимации предыдущей поверхности последующей. Поскольку в результате последовательных аппроксимаций исходная поверхность заменяется гранной, то рассмотрим вначале построения точных разверток гранных поверхностей.

Развертки гранных поверхностей

Определение. Разверткой гранной поверхности называется множество соединенных в плоскости многоугольников, конгруэнтных (равных) соответственно ее граням. Под соединением понимается последовательное размещение многоугольников развертки, которое соответствует последовательному расположению граней поверхности.

 Задача. Дана пирамида SABC (рис. 13.1). Построить развертку ее поверхности.

Основание ABC пирамиды принадлежит плоскости проекций П1, поэтому ∆A1B1C1 – его НВ. Для определения НВ боковых ребер пирамиды воспользуемся методом прямоугольного треугольника (см. п.8.1). SS0 ^ х – общая разность высот концов ребер данной пирамиды. Откладывая от точки S по оси Х отрезки

SB = S1B1, SC = S1C1, SA = S1A1, получаем S0В, S0С, S0А – НВ ребер пирамиды. Затем в стороне, используя известные правила построения треугольника по его сторонам, выполняем собственно построения развертки пирамиды.

 

 Задача. Дана трехгранная призма ABCDFE (рис. 13.2). Построить развертку ее боковой поверхности.

Основания ABC и DFE данной призмы параллельны плоскости проекций П1 и, следовательно, проецируются на эту плоскость в НВ. Каждую из боковых граней призмы представляем в виде двух треугольников, разделив грань диагональю. Методом прямоугольного треугольника определяем НВ трех диагоналей BD, BE и CD и одного ребра (ребра по условию задачи равны). В итоге на диаграмме натуральных величин получаем: MN – общая разность высот ребер; N1 = A1D1 = B1F1 = C1E1; N2 = D1C1, N3 = B1D1, N4 = B1E1; M1 – НВ ребра, М2 – НВ диагонали DC, М3 – НВ диагонали BD и М4 – НВ диагонали ВЕ. Имея НВ ребер призмы, трех ее диагоналей и сторон треугольников оснований, строим развертку боковой поверхности как совокупности треугольников, выстраиваемых по их сторонам.

Метод, которым были построены развертки в рассмотренных двух задачах, называется методом треугольников (метод триангуляции). Метод основан на возможности построения единственного (по форме) треугольника по его заданным сторонам. Заметим, что четыре, пять, …. отрезков определяют бесконечное множество четырех, пяти, …. угольников. Метод треугольников наиболее прост и универсален при построении точных разверток гранных поверхностей, а также приближенных и условных разверток линейчатых поверхностей.

Рассмотрим специальные методы построения разверток гранных поверхностей.

 Задача. Дана трехгранная призма АВСА1В1С1 (рис. 13.3). Построить развертку призмы.

Для построения развертки применим метод нормального сечения. Метод применим для призматических поверхностей, у которых боковые ребра представляют собой линии уровня. Последовательность построений в методе нормального сечения следующая:

призма рассекается плоскостью ∆ перпендикулярно ее ребрам;

определяются НВ сторон многоугольника, по которым плоскость ∆ пересекает поверхность призмы;

многоугольник, как ломаная линия, разворачивается в отрезок прямой, внутри которого отмечаются точки, соответствующие вершинам многоугольника;

через эти точки проводятся прямые, перпендикулярные отрезку – развертке многоугольника;

на перпендикулярных прямых от указанных точек откладываются отрезки – НВ соответствующих отрезков ребер пирамиды;

концы отрезков ребер последовательно соединяются отрезками прямых линий;

к построенной развертке боковой поверхности достраиваются НВ многоугольников – оснований призмы.

 Применим изложенную последовательность к нашей задаче. Поскольку ребра призмы АА1, ВВ1, СС1 по условию задачи являются горизонталями, то А1А11, В1В11, С1С11 есть НВ этих ребер. Рассечем боковую поверхность призмы плоскостью ∆, перпендикулярной ее ребрам. Поскольку ребра являются горизонталями, то ∆ ^ П1 и Δ1 – горизонтальный след плоскости Δ. 112131 и 122232 – проекции нормального сечения призмы. Проекция Δ 142434 представляет собой НВ нормального сечения, построенную методом замены плоскостей проекций, где х1 // Δ1. В стороне от КЧ, на горизонтальной прямой, последовательно располагаем отрезки 13 = 1434, 32 = 3424, 21 = 2414 и проводим через их концы вертикальные прямые. На этих прямых откладываем отрезки:

1В = 11В1, 1В1 = 11В11; 3С = 31С1, 3С1 = 31С11; 2А = 21А1, 2А1 = 21А11. Многоугольник ВСАВВ1А1С1В1 представляет собой развертку боковой поверхности заданной призмы. Достроив к ней ΔАВС и ΔА1С1В1 , получаем полную развертку призмы.

 Задача. Дана призма АВСА1С1В1 (рис. 13.4). Построить ее развертку.

Для построения развертки призмы можно использовать известный метод раскатки. Его применение возможно для таких призматических поверхностей, у которых боковые ребра и плоскости оснований являются прямыми и плоскостями уровня. Суть метода заключается в последовательном вращении граней призмы вокруг ее боковых ребер до положения совмещения с плоскостью, которая проходит через одно из ребер и параллельна плоскости проекций, т.е. каждая грань оставляет свой «отпечаток» в этой плоскости. Множество последовательно полученных и расположенных «отпечатков» в плоскости представляет собой развертку боковой поверхности призмы. Рассмотрим решение данной задачи. Боковые ребра призмы являются фронталями, а плоскости оснований – горизонтальными плоскостями уровня. Условия задачи соответствуют методу раскатки. Пусть первое вращение – вращение грани АСС1А1, происходит вокруг оси СС1. Повернем эту грань до совмещения с плоскостью развертки, проходящей через ребро СС1 и параллельной плоскости проекций П2. В этом случае вершины А и А1 будут вращаться в проецирующих плоскостях Ф ^ П2 и Ф1 ^ П2 соответственно, которые перпендикулярны ребру АА1. Совмещенные положения A0 и A01 вершин А и А1 будут принадлежать фронтальным следам Ф2 и Ф21 плоскостей Ф и Ф1 соответственно и отстоять от точек С2 и С21 на расстоянии С2A0 = C21A01 = А1С1 = А11С11 . Следующим вращением вокруг оси A0A01 добиваемся совмещения грани АВВ1А1 с плоскостью развертки. При этом совмещенные положения B0 и B01 вершин В и В1 соответственно будут принадлежать фронтальным следам Δ2 и Δ21 плоскостей Δ ^ П2 и Δ1 ^ П2 и отстоять от точек A0 и A01 на расстоянии B0A0 = B01A01 = В1А1 = В11А11. Последнее, третье вращение, будет происходить вокруг оси B0B01 и позволит получить совмещение грани ВСС1В1 с плоскостью развертки, при этом совмещенные положения C0 и C01 вершин С и С1 будут принадлежать фронтальным следам Σ2 и Σ21 проецирующих плоскостей Σ ^ П2 и Σ1 ^ П2 и отстоять от точек B0 и B01 на расстоянии C0B0 = C01B01 = С1В1 = С11В11. Полученный в итоге построений многоугольник С2A0B0C0C01B01A01С21 будет представлять собой развертку боковой поверхности заданной призмы.

 

 

 

 

 


Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция