Задачи начертательной геометрии Комплексный чертеж Первая и вторая позиционные задачи Пересечение поверхности и плоскости Развертки поверхностей Аксонометрические проекции

Первая и вторая позиционные задачи

Позиционные задачи – это задачи, в которых требуется определить положение фигуры относительно плоскостей проекций или взаимное положение фигур – их принадлежность, параллельность и пересечение.

Взаимное положение прямой и плоскости

Взаимное положение прямой и плоскости определяется количеством общих точек: а) если прямая имеет две общие точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости; б) если прямая имеет одну общую точку с плоскостью, то прямая пересекает плоскость; в) если точка пересечения прямой с плоскостью удалена в бесконечность (несобственная), то прямая и плоскость параллельны.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы построить такую прямую, надо в плоскости задать прямую и параллельно ей провести нужную прямую.

Пусть плоскость задана треугольником Σ(ΔABC). Через точку E (рис. 5.1) необходимо провести прямую EF, параллель-ную плоскости Σ. Для этого через горизонтальную проекцию точки Е(Е1) проведем горизонтальную проекцию E1F1 искомой прямой параллельно горизонтальной проекции любой прямой, лежащей в плоскости Σ, например, прямой AB (E1F1 II A1B1). Через фронтальную проекцию E2 точки E параллельно AB проводим фронтальную проекцию E2F2 искомой прямой EF (E2F2 II A2B2). Прямая EF параллельна плоскости Σ, заданной треугольником ABC.

Прямая будет также параллельна плоскости, если она лежит в плоскости, параллельной данной.

 

 

 

 

Построение точки пересечения прямой с плоскостью

Задача на построение точки пересечения прямой с плоскостью, называемая первой позиционной задачей, и широко применяется в начертательной геометрии. Она лежит в основе решения следующих задач на:

  пересечение двух плоскостей;

 пересечение поверхности с плоскостью;

  пересечение прямой с поверхностью;

на взаимное пересечение поверхностей.

Построить точку пересечения прямой с плоскостью значит найти точку, принадлежащую одновременно заданной прямой и плоскости. Графически такая точка определяется как точка пересечения прямой с линией, лежащей в плоскости.

Плоскость занимает проецирующее положение

Если плоскость занимает проецирующее положение (например, она перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, рис. 5.2), то фронтальная проекция точки пересечения должна одновременно принадлежать фронтальному следу плоскости и фронтальной проекции прямой, то есть быть в точке их пересечения. Поэтому сначала определяется фронтальная проекция M2 точки M (точка пересечения прямой EF с фронтально-проецирующей плоскостью S(DABC)), а затем ее горизонтальная проекция. Точка M1 определена из условия принадлежности точки M прямой EF.

Полагая, что плоскость S представляет собой не прозрачный треугольник, установим видимость проекций прямой EF. На П2 вся проекция прямой EF видима, так как она не закрывается треугольником. На П1 участок прямой правее M2 невидим, так как он находится ниже плоскости при взгляде на П1.

 

Прямая занимает проецирующее положение

На рис. 5.3 изображена плоскость общего положения P (DABC) и горизонтально-проецирующая прямая EF, пересекающая плоскость в точке M. Фронтальная проекция точки - точка M2 - совпадает с точками E2 и F2, так как M принадлежит прямой. Для построения горизонтальной проекции искомой точки пересечения проведем через точку M в плоскости P прямую (например, KL). Сначала построим ее фронтальную проекцию, а затем горизонтальную. Точка M является точкой пересечения прямых EF и KL.Так как точка M одновременно лежит на прямой EF и в плоскости P (KLÎP), то она является точкой их пересечения.

Для установления видимости проекции прямой на П1 вводим конкурирующие точки 1 и 2. Так как точка 2 дальше удалена от плоскости П1, то относительно П1 она будет видимой, а невидимой будет точка 1. Заметим, что точка 2 принадлежит прямой EF. Следовательно, в окрестности точек 11=21 до M1 проекция прямой будет видимой. Выше M1 проекция прямой будет невидимой. Невидимый участок проекции прямой показан штриховой линией.


Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция