Задачи начертательной геометрии Комплексный чертеж Первая и вторая позиционные задачи Пересечение поверхности и плоскости Развертки поверхностей Аксонометрические проекции

Прямая и плоскость занимают общее положение

Пусть даны плоскость S и прямая AB (рис. 5.4a). В общем случае они имеют одну общую точку. Эта точка, принадлежащая прямой и плоскости, будет принадлежать и некоторой прямой n этой плоскости. Заметим, что в плоскости через точку можно провести однопараметрическое множество прямых - ¥. Выделив хотя бы одну из них, легко определим искомую точку. Следовательно, поставленная задача сводится к отысканию некоторой прямой n, принадлежащей заданной плоскости и пересекающей исходную прямую AB.

Прямую n можно рассматривать как проекцию прямой AB на заданную плоскость S (в более широком смысле прямая n есть отображение прямой AB на плоскость S). Для случая линейного проецирования прямые n и AB принадлежат одной плоскости и являются конкурирующими относительно плоскости S. Последнее используем для определения точки пересечения прямой и плоскости. Тогда алгоритм решения поставленной задачи будет следующим:

на заданной плоскости S проведем проекции прямой KL (рис. 5.4б), конкурирующей с заданной прямой AB относительно плоскостей S и Π2; сначала находим K2L2, а затем K1L1; прямые KL и AB расположены во фронтально-проецирующей плоскости;

находим точки M1=K1L1ÇA1B1 и M2ÎA2B2 пересечения проекций прямых AB и KL; точка M(M1,M2)-искомая;

определяем видимость прямой и плоскости относительно плоскостей проекций.

 

Для определения видимых участков прямой AB анализируем положение конкурирующих точек скрещивающихся прямых. Так, точки 1 и 2 находятся на скрещивающихся прямых AB и DE: 1ÎDE, 2ÎAB. Их горизонтальные проекции  11 и 21 совпадают. По фронтальным проекциям точек 1 и 2 при взгляде по на плоскость П1 видно, что точка 1 (точка плоскости) находится над точкой 2 (точка прямой) , то есть она закрывает точку 2 при проецировании на горизонтальную плоскость проекций. Следовательно, прямая AB на участке M2 расположена под треугольником CDE. Тогда горизонтальная проекция отрезка M2 - M121 будет невидимой. Она показана штриховой линией.

Невидимый участок на фронтальной проекции прямой AB установлен анализом положения точек L и 3 (LÎCE, 3ÎAB), принадлежащих скрещивающимся прямым AB и CE. По горизонтальной проекции видно, что если смотреть на плоскость П2, то невидимой будет точка 3, принадлежащая, прямой. Она ближе расположена к плоскости проекций П2. На фронтальной плоскости проекций точка L закрывает точку 3. В этом месте прямая AB закрыта треугольником СDE. На П2 невидимый участок M232 показан штриховой линией.

Задача на пересечение прямой и плоскости общего положения может быть сведена к одному из частных случаев, рассмотренных выше. Для этого прямую или плоскость нужно перевести в проецирующее положение. Ниже приведено решение (рис. 5.5), в котором методом замены плоскостей проекций в проецирующее положение переведена плоскость. На П4 определена проекция M4 искомой точки, а затем по линиям связи установлены проекции точки и на исходных плоскостях проекций. Исходные данные взяты такими же, что и в предыдущей задаче. Поэтому установление видимости проекций прямой не рассматривается.


Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция