Математика задачи и примеры Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл Вычислить массу дуги кривой Вычислить расходимость (дивергенцию) Найти интеграл Вычислить тройной интеграл

Решение примерного варианта контрольной работы №1

Задача 2. Найти частные производные  и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0.

Решение.

Имеем равенство вида F(x, y, z) = 0, задающее неявно функцию 2-х переменных. Для вычисления частных производных можно использовать формулы (2) и (3).

Для F(x, y, z) = 4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x получаем:

F= (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем y и z постоянными] =

= 8xyez + sin(x3 – z)3x2 + 3 = 8xyez + 3x2sin( x3 – z) + 3;

F= (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и z постоянными] =

= 4x2ez + 4y;

F = (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и y постоянными] =

= 4x2yez – sin (x3 – z).

По формулам (2) находим частные производные функции z = z(x, y):

 

По формуле (3) получаем частную производную функции y = y(x, z):

.

Ответы: ;

.

Задача 3. Дана сложная функция z = ln(2t – x2y), где x = cos3t, . Найти полную производную .

Решение. Используя формулу (4), получаем:

.

Подставив в полученный результат x = cos3t, , получим выражение полной производной   через независимую переменную t:

Ответ: .

Контрпример. Пусть

Тогда для всякого разбиения  на  можно указать систему точек  такую, что   и поэтому , а также , т.е. . При  не существует единого предела для интегральной суммы, не зависящего от  
и , т.е. функция , будучи ограниченной на , не является интегрируемой (по Риману) на .

Аналогичные соображения имеют место и для  в общем случае:

если интеграл , построенный соответственно рассмотренной выше процедуре (по Риману), существует, то  –
ограниченная на   функция, т.е. только для ограниченных на  функций , , можно рассматривать указанный интеграл.

Необходимые и достаточные условия существования интеграла Римана подробно изложены, например, в [1].

Сформулируем некоторые ДОСТАТОЧНЫЕ условия существования определенного интеграла, т.е. укажем классы функций , , интегрируемых по Риману: если

либо 1)  – непрерывна на

 либо 2)  – кусочно-непрерывна и ограничена на ;

либо 3)  – монотонная или кусочно-монотонная и ограничена на , то определенный интеграл  существует (имеет конечное значение).

Впредь будем предполагать, что все рассматриваемые функции  и множества , , обладают ("хорошими") свойствами, нужными для существования интеграла .

Решение примерного варианта контрольной работы

Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1, x + y = 3. 

Поверхность задана уравнением z =  + xy – 5x3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.

Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i.


Применение тройных интегралов. Масса неоднородного тела