Математика задачи и примеры Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл Вычислить массу дуги кривой Вычислить расходимость (дивергенцию) Найти интеграл Вычислить тройной интеграл

ПРИМЕР 1. Подвести под дифференциал .

РЕШЕНИЕ. Последовательно проведем следующие преобразования: . Воспользуемся формулой  при  и получим окончательно . Но тогда .

Таким образом, операция подведения функции  под
дифференциал позволила вычислить интеграл.

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Умножим и поделим подынтегральное выражение на число 3 и запишем .

Применив формулу 4 таблицы интегралов при , получим .

ПРИМЕР 3. Проверить формулу 8 в таблице интегралов непосредственным вычислением интеграла.

РЕШЕНИЕ. Так как , то, подведя под знак дифференциал , придем к формуле 2 таблицы интегралов: .

Рекомендуется аналогично проверить формулу 9.

В тех случаях, когда выбор функции , подлежащей подведению под дифференциал, не является очевидным, следует осуществить поиск такой формулы, у которой подынтегральное выражение по структуре сходно с подынтегральным выражением вычисляемого интеграла; при этом должна быть обнаруженной и упомянутая
функция .

ПРИМЕР 4. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Связь между функциями  и  может быть выражена в виде равенства . Поэтому интеграл  имеет смысл представить в виде   и попытаться применить формулу 1 таблицы, понимая под функцией  основание степени . "Сконструируем" дифференциал этого основания степени  в подынтегральном выражении, умножая и деля одновременно его на число . Затем применим
формулу 1. В результате получим

.

ПРИМЕР 5. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Снова выбор табличного интеграла, к которому попытаемся свести интеграл , проведем по структуре подынтегрального выражения. Оно представляет собой дробь, знаменатель которой содержит квадратный корень разности положительного числа  и квадрата функции – . Поэтому в таблице интегралов подходящей является формула 14. Учитывая равенство ,
получаем .

ПРИМЕР 6. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Подводим под дифференциал  и используем формулу 15 таблицы интегралов:

.

Заметим, что интегралы  и  (без множителя  перед квадратным корнем в знаменателе) нельзя вычислить по формулам 14 и 15, поскольку .

ПРИМЕР 7. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Подынтегральная функция по структуре – дробь;
в числителе – показательная функция , производная ее – та же показательная функция с точностью до постоянного множителя; знаменатель есть сумма квадрата функции , так как , и положительного числа 3, которое можно представить в виде . Эти соображения показывают, что следует применить формулу 12. Так как , то будем иметь

.

Заметим, что формула 2 к рассматриваемому интегралу не
применима, так как дифференциал знаменателя  сконструировать в числителе нельзя.

Непосредственным интегрированием с помощью табличных интегралов можно найти не всякий интеграл, например .
Для вычисления этого интеграла нужны другие соображения.

Задача . Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.

Вычислить работу силы  при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L:  от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы: .

 

Задача.  Дано векторное поле  и уравнение плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0. Требуется:

найти поток поля  через плоскость треугольника АВС где А, В, и С – точки пересечения плоскости d с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат; используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля   через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали.


Применение тройных интегралов. Масса неоднородного тела