Математика задачи и примеры Решить матричные уравнения Предел функции Математическая логика Неопределенный интеграл Определенные интегралы Двойной интеграл Изменить порядок интегрирования в интеграле

Неопределенный интеграл. Табличное интегрирование.

Задания для подготовки к практическому занятию

Выучите основную таблицу интегралов.

Примеры

1. Проверьте, верно ли найден интеграл:

Решение. Произвольное постоянное слагаемое С – непременный атрибут любого неопределенного интеграла. Чтобы проверить, верно ли найдена первообразная функция в правой части данного равенства, следует найти ее производную:

.

Поскольку полученная производная не совпадает с подынтегральной функцией , значит, интеграл найден не верно.

(Заметим впрочем, что исправить ситуацию в данном случае легко, домножив правую часть данного равенства на : .)

 Вычислить интегралы:

2. ;  3. ; 4.; 5.

Решение:

2. Данный интеграл является табличным (№10) с точностью до постоянного множителя 2 перед х2:

3. Представим дробь под интегралом в виде суммы, разделив почленно числитель на знаменатель:

.

4. Чтобы свести данный интеграл к табличным, применим простые тригонометрические преобразования:

5. Интеграл отличается от табличного (№3) линейной заменой (5-3х вместо х). Воспользуемся правилом линейной замены (§17.1):

.

Следует помнить правило этого перехода:

Заменить  и  в функции f (x;y) и в уравнениях границ области D;

Заменить  ;

При вычислении двойного интеграла в полярных координатах внешний интеграл вычисляется поот  до, а внутренний по от  до  - если полюс 0 лежит вне области D. Если полюс 0 лежит внутри области D, то внешний интеграл по от 0 до , а внутренний по  от 0 до  (граница области D).

Пример. Вычислить , если D:

Чертеж области D:

  - круг с центром в точке: (1;0) и радиусом r = 1:

В полярной системе уравнение

1) преобразуется:

 

  (рис.10)

 2) прямая 

Ответ: .


Тройной интеграл в цилиндрических координатах