Математика задачи и примеры Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл Вычислить массу дуги кривой Вычислить расходимость (дивергенцию) Найти интеграл Вычислить тройной интеграл

Метод замены переменной (интегрирование подстановкой)

Ниже рассмотрены некоторые часто встречающиеся интегралы и применяемые для их вычисления подстановки.

1. Тригонометрические подстановки , ,  применяются в тех случаях, когда подынтегральное
выражение содержит радикалы , ,  или их степени.

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Положим , . Тогда , , , . Имеем

, отсюда получаем

.

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Положим , . Тогда , , ,  и

.

Возвращаясь к первоначальной переменной  (пункт 5 алгоритма), выразим сначала  через :

.

Отсюда .

2. Иногда по структуре подынтегрального выражения удается
догадаться не о самой подстановке , а о виде функции  – обратной для  – с тем, чтобы свести исходный интеграл к одному из табличных интегралов.

ПРИМЕР 3. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Полагаем , тогда  и .
Поэтому имеем

.

3. Рассмотрим интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе,  и , в случае, когда  (трехчлен не разлагается на действительные множители).

Выделим полный квадрат в трехчлене:

.

Положим , тогда , , .
Отсюда 

.

Здесь использованы табличные интегралы 2 и 12 и проведен переход к первоначальной переменной интегрирования .

Аналогично

.

Здесь использованы табличные интегралы 1 и 15 и совершен переход к переменной интегрирования .

Интеграл вида  в случае  и для тех , при которых , вычисляется аналогично: . Полагая ,  и используя формулы 1 и 14, имеем

.

Полученные общие формулы не следует запоминать, целесообразно каждый раз проводить соответствующие выкладки подробно.

ПРИМЕР 4. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Приводим интеграл  к виду интеграла : . Выделим полный квадрат в трехчлене знаменателя . Полагая , получим  и

.

4. При интегрировании интеграла вида

 – произвольные
числа, целесообразна так называемая "обратная подстановка" ; она приводит интеграл  к интегралу "более простого
вида" – без множителя перед корнем в знаменателе. Покажем это на конкретном примере.

ПРИМЕР 5. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. При , ,  имеем

.

Получим интеграл вида ; для его вычисления преобразуем
трехчлен

.

Окончательно

.

Далее указаны примеры других подстановок, упрощающих
исходные интегралы.

Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3).

РЕШЕНИЕ. Последовательно проведем следующие преобразования: . Воспользуемся формулой  при  и получим окончательно . Но тогда .

Интегрирование тригонометрических функций вида

 

Интегрирование по частям ПРИМЕР 1. Вычислить . РЕШЕНИЕ. Выберем ,  и проведем вычисления согласно (*) (обращаем внимание на возможный вариант записи этих вычислений).

Иногда формула позволяет искомый интеграл выразить через некоторые функции и этот же интеграл. Полученное равенство является уравнением относительно искомого интеграла. Решив это уравнение, вычислим интеграл. Интегралы такого типа называют возвратными.


Применение тройных интегралов. Масса неоднородного тела