Занимайтесь важным для жизни ремеслом, казино вулкан на реальные деньги - настоящий заработок мечты!
Математика задачи и примеры Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл Вычислить массу дуги кривой Вычислить расходимость (дивергенцию) Найти интеграл Вычислить тройной интеграл

[an error occurred while processing this directive]

Математическая логика

Для записи определений, теорем, математических рассуждений в курсе высшей математики целесообразно применять символику, используемую в математической логике.

Одним из первоначальных понятий математической логики является понятие "ВЫСКАЗЫВАНИЕ" – повествовательное предложение, которое может быть истинным (сокр. И) или ложным (сокр. Л).

Например, высказывание А:  (Л); здесь записано предложение "сумма чисел 1 и 2 равна числу 4", которое является неверным (ложным).

В математике рассматриваются утверждения, являющиеся
высказываниями, их истинность устанавливается с помощью доказательства. В математической логике отвлекаются от содержания
высказываний и изучают только их истинность или ложность.

Из нескольких высказываний с помощью теоретико-высказывательных связок (логических операций) можно составить новые более сложные высказывания. Обычно рассматриваются такие комбинации высказываний, в которых истинность или ложность новых высказываний определяются истинностью или ложностью
составляющих высказываний.

Далее приведены операции, их названия и для лучшего запоминания их таблицы истинности.

Некоторые операции над высказываниями

Обозначение

Название

Как читается

Значения

истинности

  или

Отрицание высказывания

не

И

Л

Л

И

Конъюнкция двух высказываний

  и 

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

Л

Л

Л

Дизъюнкция двух высказываний

  или 

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

И

И

Л

Импликация; логическое следование

если , то ;

  влечет

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

И

Эквиваленция; эквивалентность двух высказываний

  тогда и только тогда, когда ;

  эквивалентно 

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

Л

Л

И

Заметим, что каждая логическая операция над высказываниями приводит к высказыванию, истинность или ложность которого устанавливается через истинность или ложность исходных высказываний по соответствующей таблице истинности.

ПРИМЕРЫ

Если  – истинное высказывание, то высказывание не  построится так:  или , т.е.  – ложное.

Пусть высказывания  заданы (для конкретного четырехугольника).

: Противоположные стороны  и   в четырехугольнике  параллельны, .

: Длины противоположных сторон   и  в четырехуголь-нике  равны, .

: Четырехугольник  есть параллелограмм.

Тогда , т.е. высказывание   есть конъюнкция высказываний   и , причем  – истинно тогда и только тогда, когда
истинны высказывания  и  (одновременно). Если же хотя бы
одно из высказываний  и  ложно, то их конъюнкция  так же является ложным высказыванием.

Высказывание :  ( – конкретное число) следует понимать как дизъюнкцию высказываний  и , т.е. . Причем высказывание  истинно тогда, когда хотя бы одно из высказываний  и  истинно;  ложно тогда, когда оба высказывания  и  ложные (одновременно!).

Пусть : В треугольнике  длины сторон   и  равны, ;

: В треугольнике  углы при основании  равны, .

Тогда, как известно, высказывание  истинное, т.е.
высказывания   и  эквивалентны; каждое из них может быть взято в качестве определения равнобедренного треугольника, в то время как другое высказывание выражает свойство равнобедренного
треугольника.

Рассмотрим высказывания:

: Число   делится на 10, .

: Число  делится на 5,  ( – конкретное число).

Тогда можно построить новое высказывание: если , то  (); читается так: "если число  делится (нацело) на 10, то оно делится (нацело) на 5", оно истинное.

Применяемые в математике высказывания обычно представляют собой описание свойств каких-либо математических объектов или описание отношений (взаимосвязей), существующих между этими объектами. Для описания математических ОПРЕДЕЛЕНИЙ применяется, как правило, знак логического тождества в виде , или , или  (definition – определение). Для записи математических ТЕОРЕМ применяются знаки логических операций: импликация  (если …, то …) и эквиваленция  (… тогда и только тогда,
когда …).

Математические утверждения, в которых имеются неизвестные (одно неизвестное –  или несколько – ), не обязательно являются высказываниями. Они становятся высказываниями лишь при конкретном значении этих неизвестных.

Например, неравенство  может быть И или Л при
конкретных значениях переменной  (записывают ) и
говорят, что   – высказывательная форма, соответствующая
предикату . Предикат можно определить как логическую функцию соответственно одной или нескольких переменных, принимающую значение из множества . Для задания области истинности
предиката   в рассматриваемом примере достаточно решить неравенство  или ; множество значений  – область истинности рассматриваемого предиката.

Поскольку высказывательная форма  зависит от одной
переменной, то ее называют одноместной. Нетрудно привести другие примеры одноместных, двуместных и т.д. высказывательных форм и им соответствующих предикатов.

Для описания области истинности предиката используют
КВАНТОРЫ:

  – квантор ОБЩНОСТИ, который читается "для всех", "все",
"каждый", "всякий" и т.д.;

  – квантор СУЩЕСТВОВАНИЯ, который читается "существует", "найдется", "можно указать" и т.д.

Запись   означает: для всякого элемента   из
множества  истинно утверждение .

Запись   означает: существует элемент ,
такой, что для него истинно утверждение .

Если элемент  из множества , для которого истинно высказывание , не только существует, но и единственный, то записывают .

Каждая из приведенных здесь записей, использующих кванторы, является высказыванием.

Кванторы  и   связаны между собой в смысле приведенного определения, а именно: для любого утверждения  имеет место соотношение

,

т.е. отрицание высказывания  имеет вид  (существует элемент , такой, что для него утверждение  является ложным). Аналогично

.

ПРИМЕР. Используя символику, построить отрицание высказывания .

РЕШЕНИЕ. Заданное высказывание является ложным. Его отрицание – истинное высказывание – и строится так: , например,

.

Для двуместных, трехместных и т.д. высказывательных форм отрицание соответствующих высказываний строим формально:

кванторы последовательно заменяются на противоположные;

отрицается предикат.

ПРИМЕР. Покажем, что множество  – счетное. Рассмотрим множество положительных рациональных чисел . Элементы множества  можно расположить в виде бесконечной прямоугольной таблицы

ПРИМЕР. Задано высказывание , , здесь   – действительные числа. Прочитать высказывание, выяснить его смысл, установить – истинно оно или ложно, построить отрицание высказывания.

Грани числовых множеств Напомним свойства множества всех действительных чисел .

[an error occurred while processing this directive]
Применение тройных интегралов. Масса неоднородного тела