Математика задачи и примеры Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл Вычислить массу дуги кривой Вычислить расходимость (дивергенцию) Найти интеграл Вычислить тройной интеграл

[an error occurred while processing this directive]

Односторонние пределы

Пусть ,  – конечная точка. Тогда

называется левосторонним пределом функции при  (предел слева) и обозначается .

Аналогично правосторонний предел (предел справа)

.

ТЕОРЕМА (критерий существования конечного предела в точке)

;

.

Доказательство. (

.

Отсюда следует выполнимость требуемых соотношений для
существования .

()  Имеем

;

.

Поэтому на , где ,
выполняется условие , т.е. существует  и его значение равно .

ТЕОРЕМА Вейерштрасса . Пусть  задана на . Если  возрастает на , то .

Если   убывает на , то

,

.

Теорема описывает достаточно большое число различных случаев – функция может быть ограниченной и неограниченной, различного характера монотонности на , предельные точки  и  могут быть конечными точками или , .

Рассмотрим и докажем утверждение: ;

,

т.е. если функция  возрастает и ограничена сверху на , то при  существует конечный предел функции,
равный .

Доказательство. Обозначим . Тогда из ограниченности множества  и определения верхней грани
числового множества имеем:

1) ;

2) ,

т.е. .

В силу возрастания  на  для всякого  имеем .

Итак, , т.е. по определению левостороннего предела получаем .

Аналогично доказывается теорема для убывающей и ограниченной снизу на  функции, получаем .

Частный случай (для последовательности)

Всякая монотонная и ограниченная последовательность является сходящейся.

Предел и непрерывность функции обной переменной Понятие предела функции  при , стремящемся к  (сокр. ), является основным понятием математического анализа. Оно характеризует поведение функции  вблизи точки , т.е. существование предела и его значение определяют локальное свойство .

ПРИМЕР Показать по определению

Теоремы о пределах о свойствах функций, имеющих конечные пределы

Существование предела частного функций  доказывается аналогично, если предварительно установить ограниченность функции  на некоторой окрестности .

Второй замечательный предел

Различные определения непрерывности функции в точке Эквивалентность определений либо следует из эквивалентности определений конечного предела функции, либо может быть установлена.

[an error occurred while processing this directive]
Применение тройных интегралов. Масса неоднородного тела