Математика задачи и примеры Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл Вычислить массу дуги кривой Вычислить расходимость (дивергенцию) Найти интеграл Вычислить тройной интеграл

[an error occurred while processing this directive]

Правило Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей.

ПРИМЕР.  – здесь нет неопределенности, правило Лопиталя не применимо; в точке  функция непрерывная и предел ее при  равен значению функции в предельной точке.

3. При применении правила Лопиталя дифференцируется
числитель и знаменатель дроби отдельно.

4. Иногда правило Лопиталя применяется несколько раз.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Значение предела

  позволяет сравнить бесконечно большие при  функции: показательная функция  – бесконечно большая функция большего порядка по сравнению со степенной функцией  – бесконечно большой при .

5. Правило Лопиталя не является универсальным,
оно применимо лишь тогда, когда существует предел отношения производных .

ПРИМЕР. Значение предела  получить по правилу Лопиталя нельзя, поскольку  – не существует (поведение  при  неопределенное). Можно провести счет, например, так: , применяя теорему о пределе произведения бесконечно малой функции на
ограниченную, в нашем случае,  при  .

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА базовая формула математического анализа.

ПРИМЕР 1. Разложить функцию  в окрестности точки , взяв .

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой Маклорена при . Найдем производные ; ;

; отсюда , , . Получаем .

ПРИМЕР 2. Убедиться самостоятельно в правильности разложений функции в окрестности по степеням :

, где  лежит между  и 0;

,

.

ПРИМЕР 3. Оценить абсолютную погрешность приближенного
равенства   при .

РЕШЕНИЕ. ,  – между  и 0. Поэтому . Например, для  абсолютная
погрешность не превосходит числа 0,04.

ПРИМЕР 4. Вычислить приближенно , используя формулу
Тейлора при , , ; оценить погрешность.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим функцию  и ее представление по формуле Тейлора в

,

т.е. . Оценим погрешность . Здесь точка  расположена между  и . Поскольку функция  возрастающая, то , т.е. . Поэтому с точностью  имеем .

ПРИМЕР 5. Используя разложения функций по формуле Тейлора, вычислить пределы:

а) ;  б) .

РЕШЕНИЕ. а) ;

б) .

Вычисление интеграла ФНП. Решение типовых задач

Производная функции в точке

Обратная функция , ее свойства ПРИМЕР. Для функции найти обратную функцию; рассмотреть графики прямой и обратной функций.

ПРИМЕР. Вычислить производную функции  на ОДЗ. РЕШЕНИЕ. Можно дифференцировать последовательно: сначала логарифмированную функцию, затем по формулам производной дроби и произведения. На проще сначала выражение прологарифмировать, а затем уже дифференцировать.

[an error occurred while processing this directive]
Применение тройных интегралов. Масса неоднородного тела