http://dakarmebel.ru/ кухонные стеклянные столы в Екатеринбурге обеденные столы.
Математика задачи и примеры Решить матричные уравнения Предел функции Математическая логика Неопределенный интеграл Определенные интегралы Двойной интеграл Изменить порядок интегрирования в интеграле

Вычислить работу силы  при перемещении единичной массы вдоль кривой  линии пересечения двух поверхностей:  от точки  до точки 

РЕШЕНИЕ.

Работа силы по перемещению материальной точки единичной массы есть линейный интеграл вдоль дуги  от точки  до точки 

.

Последний интеграл есть криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой . Его вычисление сводится к вычислению определенного интеграла, для чего кривую  надо представить в параметрической форме (условием задачи кривая  задана в виде линии пересечения поверхности кругового цилиндра  с плоскостью , см. рис.81).

Параметризацию кривой удобно провести следующим образом: зададим ; тогда из уравнения цилиндра найдем, что  и из уравнения плоскости, что . Итак,

.

Найдем значения параметра , соответствующие точкам  и 

,  откуда 

, откуда .

Рис.81

Для работы получим

=

=

=

Ответ. Работа равна .

Определение 4. Криволинейным интегралом II рода от векторной функции   по дуге AB кривой   называется предел последовательности интегральных сумм  при условиях:

1)   и  ;

2) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения дуги на части, ни от выбора на каждой из этих частей точек . Этот криволинейный интеграл II рода обозначается:

 

то есть:

Теорема 1 (существование криволинейного интеграла II рода).

Если вектор-функция  непрерывна на дуге AB гладкой кривой l , то криволинейный интеграл II рода существует.

Замечание 1. Если вектор-функция  задана на дуге AB гладкой кривой , то криволинейный интеграл II рода записывается следующим образом:


Тройной интеграл в цилиндрических координатах