Математика задачи и примеры Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл Вычислить массу дуги кривой Вычислить расходимость (дивергенцию) Найти интеграл Вычислить тройной интеграл

Матричные уравнения

 Пример 10. Найти матрицу , если

.

  ◄ Матрица  существует, так как порядки сомножителей согласованны

,

и имеем порядок . Благодаря свойству ассоциативности операции умножения матриц последовательность её вычисления может быть различной, например,   или .

 Напомним, что при вычислении произведения двух матриц используется скалярное умножение двух арифметических векторов порядка . Будем называть это скалярное умножение «простым», если , и – «сложным», если  (сокращённо ПСУ и ССУ). Посчитаем количества ПСУ и ССУ, которые необходимо совершить, чтобы вычислить матрицу   указанными выше способами.

 В первом случае последовательность вычислений такова:

 1) – 6 ССУ

2)  – 2 ССУ

3)  – 8 ПСУ.

  Всего: 8 ССУ и 8 ПСУ.

 Во втором случае:

1)  – 12 ПСУ

2)  – 12 ССУ

3)  – 8 ССУ.

  Всего: 20 ССУ и 12 ПСУ.

 Преимущество первого способа над вторым очевидно. Но есть ещё один порядок умножения, позволяющий сократить объём вычислений. Именно, .

 В самом деле,

1)  – 3 ССУ

2)  – 2 ССУ

3)  – 8 ПСУ.

  Всего: 5 ССУ и 8 ПСУ.

 Анализ трёх рассмотренных способов вычисления матрицы  позволяет дать рекомендацию: при вычислении матричных произведений с числом сомножителей больше 2-х целесообразно начинать вычисление произведений с наименьшим числом столбцов у правого сомножителя, и заканчивать вычислением произведений с наибольшим числом столбцов у правого сомножителя. ►

 7. Найти произведение , если:

 а) ;

 б) ;

 в) ;

 г) .

 При вычислении матричных выражений вида  предварительно следует привести подобные члены, если это возможно.

 Свойство 4.  –

аддитивность по функции операции интегрирования, т.е. неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций (предполагается, что все участвующие в равенстве интегралы существуют). При этом, если  и , то записывают , объединяя  и  в одну произвольную постоянную .

Свойство 4 верно для суммы конечного множества слагаемых.

 Свойство 5. , ,  –

Однородность операции интегрирования, т.е. при вычислении неопределенного интеграла постоянный ненулевой множитель можно
выносить за знак интеграла (соответственно можно вносить под знак интеграла).

Матричные уравнения Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу.

  Пример Найти матрицу ,

Найти матрицу .

Разложить матрицу  в произведение простейших. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу , если .


Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах