Математика задачи и примеры Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл Вычислить массу дуги кривой Вычислить расходимость (дивергенцию) Найти интеграл Вычислить тройной интеграл

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

РЕШЕНИЕ а) Судя по уравнению кривой интегрирования, интеграл нужно вычислять по формуле (28):

РЕШЕНИЕ b) В этом пункте кривая задана параметрическими уравнениями, поэтому интеграл вычисляем по формуле (30):

 

Криволинейный интеграл второго рода 

численно равен работе

силы  на пути MN. На этом физическом смысле криволинейного интеграла второго рода основано задание 6: вычислить работу силы  при перемещении точки по ломаной линии MNV.

Задана сила

точки М(3; l), N(-1; 5), V(0; 7).

 РЕШЕНИЕ Интеграл по ломанной линии MNV вычисляем  суммой двух интегралов: по отрезку прямой MN и отрезку NV. Определим уравнение прямой интегрирования MN, как уравнение прямой, проходящей через две точки

Таким образом

Работу вычисляем по формуле

где

  Криволинейный интеграл вычисляем по формуле (35):

Затем определяем уравнение прямой, проходящей через точки N, V. Получим у = 2х + 7,  dy = 2dx. Применяем формулу (35):

Допустимая точка  называется точкой абсолютного
минимума (или максимума) ФНП ,  в задаче (*), если
выполняется условие:    или  . При этом можно записывать

  или .

Задача абсолютного экстремума для ФНП формулируется аналогично этой задаче для функции одной переменной:

найти  и ,

если   – непрерывна на ,  – связная ограниченная замкнутая область.

Алгоритм решения задачи абсолютного экстремума:

1) найти все внутренние допустимые точки, "подозрительные" на
локальный экстремум;

2) найти допустимые точки, "подозрительные" на экстремум на
границе   множества ;

3) присоединить точки "стыка" границы ;

4) во всех выделенных точках  вычислить значения функции ; выбрать наименьшее число (или  и наибольшее
число (или ).

Сформулированная задача абсолютного экстремума всегда имеет решение. Это следует из теоремы Вейерштрасса:

если функция  – непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то она достигает на множестве   значений
абсолютных минимума и максимума множества .


Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах